导图社区 张宇-第12讲二重积分和第18讲多元函数积分学
张宇-第12讲二重积分和第18讲多元函数积分学知识笔记，主要用于自己考研使用，需要的也可以看下哟。
这是一个关于张宇，第一讲行列式的思维导图。抽象型行列式的计算：aij未给出：用矩阵性质、设C=A+B，A,B为同阶方阵，则|C|=|A+B|，作恒等变形，转化为矩阵乘积的行列式。
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二重积分和多元函数积分学
二重积分
概念
和式极限
性质
性质1(求区域面积)
性质2（可积函数必有界）
当f(x,y)在有界闭区域D上可积时，f(x,y)在D上必有界
性质3（积分的线性性质）
设k1,k2为常数，则
性质4（积分可加性）
当f(x,y)在有界闭区域D上可积，且D1UD2=D,D1∩D2=空集， 则
性质5（积分保号性）
当f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上可积时，说在D上，
性质6（二重积分的估值定理）
设M,m分别是f(x,y）在有界闭区域D上最大值和最小值，A为D的面积，则有
普遍对称性
奇零偶倍
若D关于y轴对称看f(x,y)中的x的奇偶
若D关于x轴对称看f(x,y)中的y的奇偶
轮换对称性
若将D中x,y对调后，D不变，则两个函数相等
二重积分比大小
对称性
保号性（性质5）
二重积分中值定理（性质7）
设函数是f(x,y）在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点
周期性
质量
计算
直角坐标系
直坐标系与换序
极坐标
极坐标系与换序
直极互化
圆
应用
面积
曲顶柱体体积
曲顶为z=（x,y),（x,y)属于Dxy的柱体体积
总质量
重心坐标
对于平面薄片，面密度
转动惯量
三重积分
概念与对称性
三重积分的概念
质量
以f（x,y,z）为点密度的空间物体的质量
普通对称性
先一后二法（先z后xy法，也叫投影穿线法）
适用场合
求的质量中有多个变量
计算方法
先二后一法（先xy后z法，也叫定限截面法）
求的质量中只有只有一个变量
一投二代三替换
柱面坐标系=极坐标下二重积分与定积分
球面坐标系
体积
重心
转动惯量
引力
方程不可代入
曲线积分
第一类曲线积分
第一类曲线积分的概念
普通对称性
(找出三个一样的密度相加)/3=质量
同二重积分和三重积分
一投二代三计算（化为定积分）
做题步骤
1.方程代入
2.奇偶对称性或轮换对称性
3.选方法（直线，参数）
4.变成定积分计算
物质曲杆
曲杆长度（弧长）
重心（质心）
第二类曲线积分
做功
对称性
奇倍偶零
基本方法
格林公式 （外逆内顺）
曲线封闭且无奇点在其内部，直接用格林公式
曲线封闭但有奇点在其内部，若除奇点外 则换路径（把奇点抠出来再算）
非封闭曲线若（偏Q/偏x=偏P/偏y）则换路径（加线或减线一般是直线，使曲线封闭之后算）
积分与路径无关问题
与路径无关，只与起点和终点有关
Pdx+Qdy为二元函数u(x,y)的全微分
Pdx+Qdy=0为全微分方程
Pi+Qj为某二元函数u(x,y)的梯度
沿D内任意分段光滑闭曲面L都有
两类曲线积分的关系
空间问题
一投二代三根号（参数方程简单或曲线不在同一平面上）
曲线封闭且在同一平面上或投影曲线简单，可用斯托克斯公式
rotF=0（无旋场）可换路径
方程代入
格林公式（平面闭曲线）
参数方程
斯托克斯公式（空间闭曲线）
曲面积分
第一类曲面积分
概念与对称性
第一类曲面积分的概念
与二重积分，三重积分，第一类曲线积分完全一致
一投二代三根号（化为二重积分）
曲面薄板（物质曲面）
曲面面积
曲面重心（质心）
方程代入
二重积分计算
斯托克斯
第二类曲面积分
通量
一投二代三定号（化为二重积分）
拆成三个积分，一个一个做
分别投影到相应的坐标面上
若区域在xoy面上的投影为一条线，即区域垂直于xoy面，则此积分为零
若不是上面的情况，且区域上存在两点，他们在xoy面上的投影点重合， 则应将区域分成若干个曲面片，使对于每一个曲面片上的点投影到xoy面 上的投影点不重合
假设已分好了，不妨将已经分好的区域记为£，此时将£的方程写成z=(x,y) 的形式
一投二代三定号 (用二的例子)
一投：确定区域在xoy面上的投影D
二代：将z（x,y）代入R（x,y,z）
三定号：将dxdy写成±dxdy其中±是这样选的： 当cos＞0即区域的法向量与z轴的交角为锐角，亦即当区域的指定侧为上侧时，取+ 当cos＜0即区域的法向量与z轴的交角为钝角，亦即当区域的指定侧为下侧时，取-
轮换投影法
高斯公式
封闭曲面且内部无奇点，直接用高斯公式
封闭曲面但有奇点在其内部。若除奇点外divF=0，则换个面积分（边界无需与原曲面重合）
非封闭曲面，补面使其封闭（加面减面）
由divF=0，建方程求f(x)
两类曲面积分的关系
做题步骤
高斯定理
参数方程
方程可代入
