张宇第一讲行列式

这是一个关于张宇，第一讲行列式的思维导图。抽象型行列式的计算：aij未给出：用矩阵性质、设C=A+B，A,B为同阶方阵，则|C|=|A+B|，作恒等变形，转化为矩阵乘积的行列式。

第一讲行列式

• 定义，性质与定理
  • n阶行列式的定义
    • 以n个向量为邻边的n维图形的（有向）体积
  • 行列式性质
    • 性质1
      • 行列互换，其值不变，即|A|=|A^T|
    • 性质2
      • 某行（列）元素全为零，则行列式为零
    • 性质3
      • 两行（列）元素相等或对立成比例，则行列式为零
    • 性质4
      • 某行（列）元素均是两个元素之和，则可以拆成两个行列式之和
    • 性质5
      • 两行（列）互换，行列式的值反号
    • 性质6
      • 两行（列）元素有公因子k（k≠0），则k可提到行列式外面（倍乘）
    • 性质7
      • 某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变（倍加）
  • 行列式展开定理
    • 余子式Mij
    • 代数余子式Aij=（-1）^（i+j）Mij
    • 按某一行（列）展开的展开公式
• 具体型行列式的计算：aij已给出
  • 化为“12+1”型行列式
    • 主对角线行列式
    • 副对角线行列式
    • 拉普拉斯展开式
      • 
    • 范德蒙行列式
      • 
  • 加边法
    • 
  • 递推法（高阶到低阶）
    • 建立递推公式，即建立Dn与Dn-1的关系
    • Dn-1与Dn要有完全相同的元素分布规律，只是Dn-1比Dn低了一阶
  • 数学归纳法（低阶到高阶）
    • 第一数学归纳法（适用于F(Dn,D(n-1))=0)
      • 验证n=1时，命题成立
      • 假设n=k(≥2)时，命题成立
      • 证明n=k+1时，命题成立
      • 则命题对任意正整数n成立
    • 第二数学归纳法（适用于F(Dn,D(n-1),D(n-2))=0)
      • 验证n=1和n=2时命题成立
      • 假设n＜k时，命题成立
      • 证明n=k（≥3）时，命题成立
      • 则命题对任意正整数n成立
• 抽象型行列式的计算：aij未给出
  • 用行列式性质
  • 用矩阵性质
    • 设C=AB，A,B为同阶方阵，则|C|=|AB|=|A||B|
    • 设C=A+B，A,B为同阶方阵，则|C|=|A+B|，作恒等变形，转化为矩阵乘积的行列式
    • 设A为n阶矩阵，则
  • 用相似理论
    • 
    • 
• 综合题