矩阵

逆矩阵:对于n阶矩阵，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，,则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。

矩阵

• 概念：mxn个数排列成的数表
• 方阵：m=n时，叫做n阶矩阵或者方阵。注：1、只有方阵才有|A|；2、A=0和|A|=0不要混淆
  • 公式:
    • 1、
    • 2、
    • 3、
    • 4、
• 特殊矩阵：
  • 零矩阵
  • 同型矩阵：A和B都是mxn矩阵
  • 上、下三角行列式
  • 对角矩阵：
    • 1、
    • 2、
    • 3、
    • 4、
    • 5、
  • 对称矩阵：
  • 反对称矩阵：
  • 正交矩阵：
• 伴随矩阵:
  • 重要公式：
• 逆矩阵:对于n阶矩阵，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，,则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。
  • 定理
    • 定理1：若矩阵A可逆，则|A|≠0
      • 推论：A、B是n阶矩阵，如果AB=E，则
    • 定理2：
  • 性质
    • 1、若A可逆，则
    • 2、若A可逆，且k≠0，则kA可逆，
    • 3、如A、B均可逆，则A、B也可逆，且
    • 4、如A可逆，则
• 矩阵的初等变换
  • 初等变换
    • 倍乘
    • 互换
    • 倍加
  • 初等矩阵：矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
    • 左乘行变换，右称列变换
  • 矩阵等价：矩阵A经过有限次初等变化变成B，则A与B等价
  • A可逆 A可以表示成为若干个初等矩阵乘积
• 矩阵的秩
  • k阶子式定义：在mxn矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n）位于这些行和列的交叉点上的k个元素按其原来在矩阵A的次序可构成一个k阶行列式，称其为矩阵A的一个k阶子式
  • 秩的定义：若矩阵A中存在r阶子式不为0，r+1阶（如果存在）子式全为0，则称矩阵A的秩为r，记成r（A）=r。零矩阵的秩规定为0
  • 注：
  • 定理：经初等变换矩阵的秩不变
  • 公式
    • 1、
    • 2、
    • 3、r(A)≤r(A)+r(B)
    • 4、r(kA)=r(A) k≠0
    • 5、r(AB)≤min（r(A),r(B)）
    • 6、如P,Q可逆，则r(PAQ)=r(A);r(PA)=r(A);r(AQ)=r(A)
    • 7、
    • 8、max(r(A),r(B))≤r(A|B)≤r(A)+r(B)