高等数学（一、二章）

此篇导图与高数有关，其内容主要从函数、极限、连续以及一元函数微分学这两个章节详细概述，内容详实，相信会对您有所帮助的

高等数学

• 第一章：函数、极限、连续
  • 1.1函数
    • 求函数定义域
    • 求函数值域
    • 判断两函数是否为相同函数 定义域+对应法则
    • 求反函数的表达式
    • 求复合函数的表达式
    • 判断函数奇偶性
    • 周期函数的判断与周期的求法
    • 单调函数的判断方法
    • 函数有界性的判断 有界用定义，无界1.定义 2. 找子数列极限无穷大
  • 1.2函数极限与连续
    • 基本内容
      • 极限：空心邻域
      • 连续：实心邻域
      • 无穷小量
        • 高阶无穷小量
        • 等价无穷小量
        • 同阶无穷小量
        • k阶无穷小量
      • 间断点：第一类间断点：1、可去间断点 2、跳跃间断点（跳跃度）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
      • 无穷小量的性质
      • 无穷大量的性质
      • 无穷小量与无穷大量之间的关系
      • 函数极限的性质
        • 唯一性
        • 局部有界性
        • 局部保号性
        • 不等式
        • 复合函数的极限
        • 函数极限的四则运算法则
        • 海涅定理
        • 逆否定理（判断函数极限不存在的重要方法）
      • 函数连续的性质
      • 闭区间上连续函数的性质
        • 最大值与最小值定理
        • 根的存在定理或零点值定理
      • 重要的函数极限与重要的等价量
      • 等价量替换定理
      • 夹逼定理
      • 洛必达法则
    • 应用
      • 简单应用
        • • 见到根式共轭因式极限不是零就有理化
          • 变量代换
          • 等价量代换
          • 洛必达法则
          • 三角公式和差化积
          • 定积分变量代换
          • 变上限导数
          • 导数定义
        • • 变量代换化成因式，分解因式，洛必达法则
        • • 法一：重要极限
          • 法二：化为以e为底的指数函数，用洛必达法则
        • • • 化为以e为底的指数函数，洛必达法则
        • 分段函数在分界点连续性的讨论
        • 判断函数f(x)当x→0时是x的几阶无穷小量
          • 无穷小量的等价量代换
          • 洛必达法则
          • 带有佩亚诺余项的麦克劳林展开式
        • 判断函数极限不存在的方法
        • 间断点讨论
      • 综合应用
        • 利用泰勒公式求函数极限
          • 掌握三角函数，e的次方等的泰勒展开
        • 利用夹逼定理求函数极限
        • 利用中值定理求极限
        • 利用定义证明函数极限的存在
        • 函数连续性的应用
  • 1.3数列极限
    • 基本内容
      • 基本概念
      • 数列进行的概念
      • 夹逼定理
      • 单调有界定理
      • 收敛数列的性质（与函数极限的性质类似）
    • 应用
      • 简单应用
        • 数列多项或无限项相加相乘不可化简
          • 放大缩小，夹逼定理，巧妙构造
          • 利用定积分的定义 P24例1.3.5
          • 积分中值定理
        • 判断数列收敛性或证明数列极限存在，求极限
          • 数学归纳法，单调有界定理
          • 极限的不等式性质
        • f(n)的极限属于未定式时，求极限limn→∞f(n)
          • 函数到数列
        • 判断数列极限不存在
      • 综合应用
        • 利用等价量替换求数列极限
        • 利用和式极限化为定积分求数列极限
        • 利用数列极限定义证明数列极限存在
• 第二章：一元函数微分学
  • 2.1导数与微分
    • 基本内容
      • 导数概念
      • 微分
      • 导数的四则运算
      • 反函数求导法则
      • 复合函数求导法则
      • 基本初等函数的求导公式：带正字的三角或反三角导数带+，带余字的三角或反三角导数带——。
      • 变上限求导定理
      • 高阶导数的运算法则
      • 部分基本初等函数的高阶导数公式
      • 可微等价于可导
      • 一阶微分形式不变性
    • 应用
      • 简单应用
        • 选择题技巧：观察与证明，排除，直接计算，选项选择
        • 求一点导数导数或给出在一点可导要证明某个结论
        • 研究导函数的连续性
        • 求初等函数的导数
          • 对数法，复合法
        • 求分段函数的导数
        • 求参数式函数的导数
        • 求方程确定的隐函数的导数
          • 两边求导（对数）
        • 求变上限函数的导数
          • 变量替换
        • 求函数的高阶导数
          • 变形，找规律，数学归纳法
          • 考虑高阶导数为0
        • 求函数在某点处的的高阶导数
          • 多次求导后为0
          • 函数幂级数展开的唯一性定理
        • 导数在实际中的应用
  • 2.2微分中值定理及其应用
    • 基本内容
      • 极大值，极小值，极大值点（x0），极小值点，驻点，拐点（x0，y0）（二阶导数为0或不存在），斜渐近线，铅锤渐近线
      • 费马定理，取到极值的必要条件
      • 罗尔定理
      • 拉格朗日定理
      • 单调性定理
      • 柯西定理
      • 泰勒定理
      • 佩亚诺定理
        • 5个常用函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：
      • 泰勒公式的应用
      • 判断极值点的怀疑点是否为极值点（极值点一定包含在区间内部的驻点或导数不存在点之中）
        • 取到极值的第一充分条件
        • 取到极值的第二充分条件（仅适合驻点）
      • 曲率公式
      • 曲率圆
    • 应用
      • 简单应用
        • 证明方程根的存在性
          • 构造法
          • 根的存在定理
          • 罗尔定理
          • 泰勒公式（P54例2.2.5）
          • 一元奇数次方程至少有一个实根
        • 证明适合某种条件下ξ的等式
          • 导数定义，费马定理
          • 罗尔定理
          • 保号性
          • 关键构造
          • 柯西定理
          • 结论里出现两个不同的字母，要用两个定理（拉格朗日定理与柯西定理）
        • 已知函数导数的条件，证明涉及函数的不等式
          • 拉格朗日定理
          • 找隐藏条件（例如ln 1=0）
          • 分两组用定理
        • 已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数的不等式
          • 泰勒公式
          • 反复拉格朗日
          • 泰勒公式在给出导数的点展开
          • 极小值点展成泰勒
        • 比较数的大小的不等式
          • 能用单调性原理证明，都可用拉格朗日证明，因为单调性原理由拉格朗日证明的
        • 证明函数大小比较的不等式
          • 函数单调性
          • 最大最小值
          • 极大极小值
          • 拉格朗日定理
          • 泰勒公式
          • 柯西定理
        • 求在其定义域上的单调区间与极值
          • 1.求定义域
          • 2.定极值怀疑点
          • 3.通过两侧导数符号确定怀疑点
        • 求曲线的凹凸区间与拐点
          • 1.求定义域
          • 2.定拐点怀疑点
          • 3.通过两侧导数符号确定拐点
        • 曲线的渐近线
          • 斜渐近线
          • 铅垂渐近线
        • 曲线的描绘
          • 定义域
          • 奇偶性，周期性
          • 单调区间与极值
          • 凹凸区间与拐点
          • 渐近线
          • 交点
          • 极限
      • 综合应用
        • 证明不等式
          • 直接求导法
          • 分解法
          • 拉格朗日法
          • 拐点泰勒展开法
          • 两次泰勒展开双参数最大值法