导图社区 高数
这是一篇关于高数的思维导图，整理了函数与极限、函数连续性、导数与微分、微分中值定理及导数应用、不定积分、定积分及其应用内容
这是一篇关于第一章函数与极限的思维导图，函数与极限，包含初等函数、数列极限、函数极限、两个重要极限公式、无穷小与无穷大和多项式除以多项式计算。
这是一篇关于第二章函数连续性的思维导图，内容有函数连续的概念、连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质三大方面
这是一篇关于第三章导数与微分的思维导图，函数可导必连续，连续未必可导。
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高等数学
第一章.函数与极限
函数
注意函数的定义域
初等函数
三角函数
cot x
sec x
csc x
反三角函数
arcsin x
arccos x
arctan x
arccot x
数列极限
收敛数列的性质
极限唯一性
如果数列{Xn}收敛，那么它的极限唯—
数列有界性
如果数列{Xn}收敛，则{Xn}有界
收敛必有界，有界未必收敛
数列保号性
四则运算性质
单调有界原理
单调增有上界的数列必有极限，单调减有下界的数列必有极限
夹逼定理
收敛数列与其子数列的关系
如果数列 {Xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a
若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的
函数极限
单侧极限
左极限
右极限
函数极限与单侧极限关系
函数极限的性质
局部保号性
局部有界性
极限运算法则
无穷小相关
有限个无穷小之和也是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
常熟与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小
四则运算
推论
多项式求极限
函数的极限和该点的函数值没有关系，直接带入
=-2
有不定式的情况，先进行因式分解，消除掉一些项，再带入
分母为 0，分子不为 0
所以极限不存在
有理函数的极限值由分子分母的最高次的项决定
=0
极限存在性定理
单调增加有上界的函数必有极限，单调减少有下界的函数必有极限
两个重要极限公式
无穷小与无穷大
无穷小的比较
常用等价无穷小公式
多项式除以多项式计算
第二章.函数连续性
函数连续的概念
函数的间断点
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
函数值在两个常数间变动无限多次
连续函数的性质
闭区间上连续函数的性质
最值性定理
最大值最小值定理
有界性定理
介值性定理
零点定理
第三章.导数与微分
导数概念
定义
性质
函数可导必连续，连续未必可导
几何意义
斜率
函数的求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则
反函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数导数的倒数
复合函数的求导法则
从外向内依次求导
基本求导法则与导数公式总结
高阶导数
莱布尼兹公式
隐函数及参数方程求导方法
隐函数的导数
对等号两边同时求导
对数求导法
适用于：幂指函数
适用于：多个因子连乘或连除形式的函数
参数方程求导方法
函数的微分
微分表达式
微分基本公式
微分运算法则
第六章.定积分及其应用
定积分的概念和性质
可积条件
函数f(x)在[a,b]上连续→f(x)在[a,b]上可积（可积函数必有界）
函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点→f(x)在[a,b]上可积
函数f(x)在[a,b]上可积→f(x)在[a,b]上有界
曲边梯形的有向面积
基本性质
性质一
和差的积分，等于积分的和差
性质二
被积函数的常熟因子可以提到分号外
性质三
区间可加性
对 a<c<b，有
实际上，当积分存在时，可加性对任意 a,b,c 都是成立的
性质四
如果在 [a, b] 上 f(x)≡1，有
推广到被积函数为常函数的情形
性质五
保序性
若 f(x) 在 [a, b] 上可积，且 f(x) ≥ 0
推论1
若存在 f(x) ≤ g(x)，结合 g(x) - f(x) ≥ 0，则有
推论2
函数积分的绝对值会小于等于函数绝对值的积分，有
性质六
定积分估值公式
设 m 和 M 分别是 f(x) 在 [a, b] 上的最小值和最大值
性质七
定积分中值定理
如果函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，则在区间 [a, b] 上至少存在一点 ξ
微积分基本公式
牛顿-莱布尼茨公式
定积分的换元积分与分部积分法
换元积分法
第一换元法（凑微分法）
第二换元法
定积分应用
定积分的元素法
平面图形的面积
例题
立体体积
绕X轴旋转
绕Y轴旋转
平面曲线的弧长
直角坐标情形
参数方程情形
定积分在经济与物理学中的应用
反常积分
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）
无限区间上的反常积分
无界函数的反常积分
第五章.不定积分
不定积分的概念与性质
原函数
不定积分的性质与方法
不定积分与微分的关系
基本积分公式
第一换元积分法
第二换元积分法
当被积函数比较复杂时，可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来，使其更容易积分
若f中出现tanx、cotx、secx、cscx，皆可以通过三角函数公式转换为只含有sinx、cosx的形式
公式补充
分部积分法
当被积表达式是两个函数相乘的时候可以考虑使用分部积分法
反对幂指三
口诀中的五个字分别对应了反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数
这个顺序正着就是不凑入微分符号的函数类型，逆着读就是优先凑入微分符号的函数类型
反、对、幂、三、指(指、三)，谁在前，谁不动；谁在后，d进去(放在d后面)
有理函数和有理化积分法
有理函数的积分法
拆分
待定系数法
有理化积分法
简单无理函数的积分
换元，t=根号整体
指数函数无理式的积分
三角函数有理式的积分
万能代换公式
积分表的使用
第四章.微分中值定理及导数应用
微分中值定理
费马（Fermat）引理
罗尔（Rolle）定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理
柯西（Cauchy）中值定理
洛必达法则
型未定式
其他类型未定式
化积为商
利用通分
注：有时求极限使用洛必达法则会很麻烦
注意体会等价无穷小的用法
方法一
方法二
泰勒公式
泰勒定理
麦克劳林公式
初等函数麦克劳林公式
函数的单调性与凹凸性
单调性
若∀x∈[a,b]，f’(x)>0(或f’(x)<0)，则f(x)在[a,b]内单调增(或单调减)
凹凸性
注意拐点
注意不可导的点
函数的极值与最值
极值的必要条件
函数极值判定方法
求解法
函数简捷作图法
曲率
驻点：一阶导数为零的点
可导函数极值点一定是驻点
立方差公式
