导图社区 考研数学-高等数学思维导图（上）
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考研数学-高等数学思维导图（上）
考研数学-高等数学思维导图，包含函数、极限、连续、一元微分学、一元积分学页面板块，大家也可以用于备考复习。
编辑于2023-02-24 14:35:05 江西- 极限
- 一元微分
- 一元积分
- 相似推荐
- 大纲
函数、极限、连续
0.函数
概念
多/一对一
自变量
因变量
对应法则
反函数
——定义的原函数的另一种形式，即与原函数完全重合。 交换x、y位置后，即为反函数。 对于反函数来说，原函数也称为直接函数。
严格单调函数必有反函数； 有反函数的函数不一定是单调函数
eg:
定义
求解
复合函数
已知f(u(x))，求f(x)
已知f(u(x))，求u(x)
将u(x)代入f(x),得到f(u),与题目所给的f(u(x))相等，求解u(x)
求分段函数的复合函数
基本初等函数
“反对幂指三”
常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
正弦、余弦函数
正切、余切函数
正割、余割函数
√
基本关系
诱导公式
“奇变偶不变”
k为奇，α异名； k为偶，α同名
“符号看象限”
“一全正，二正弦，三两切，四余弦”
特殊函数值
重要公式
倍角公式
半角公式
和差公式
积化和差公式
和差化积公式
万能公式
反三角函数
反正弦、反余弦函数
反正切、反余切函数
初等函数
幂指函数
……
分段函数
四个重要分段函数
绝对值函数
符号函数
对于任意实数x，有x=|x| sgn x
取整函数
定义
y=[x],不超过实数x的最大整数
性质
狄利克雷函数
最值函数
隐函数
特性
有界性
有界or无界先要指明区间I
定义
判定
定义法
单调性
定义
判定
定义法
奇偶性
定义
判定
定义法
周期性
定义
判定
定义法
此处联系导函数、变限积分函数性质 有七大重要结论
图像
直角坐标系下
常见图像直接绘出
图像变换
平移
对称
伸缩
水平
伸缩
极坐标系下
描点法绘图
心形线【外摆线】
玫瑰线
阿基米德螺线
伯努利双纽线
直角系观点绘图
1.根据方程画出直角系下的r,θ图 2.对应画到极坐标系下
参数法——参数方程
摆线【平摆线】
星形线【内摆线】
1.其他预备
数列
等差数列
求项
求和
等比数列
求项
求和
其他常见数列求和
运算法则
指数
对数
一元二次方程基础
方程表达式
根的公式
韦达定理
判别式
抛物线
11个因式分解公式
10个常用不等式
阶乘与双阶乘
此处常用在华里士公式（点火公式）
2.极限
数列极限
数列极限的定义
概念与性质
定义
本质理解：让数列的第n项与数字a之间的距离最终保持在(0,ε)之内。 即不论指定多么小的正数ε，总可以找到某项，从此项往后，所有项与数字a保持的距离始终小于要多小有多小的ε。
性质
是常数
三个性质
唯一性
如果数列极限存在，则唯一
有界性
若数列极限收敛（存在），则数列是有界的
保号性
数列极限与子列极限
子列定义
子列极限与数列极限的关系
收敛的充要条件
母列收敛，则子列必收敛 一子列发散，则母列发散 两子列收敛但极限不同，则母列发散
证明存在性或计算极限
直接计算法
结合数列极限性质
结合运算规则，注意极限存在的前提！
四则运算
定义法
“先斩后奏”三步曲
1.写距离
2.反解出n的范围，即
3.取
单调有界准则
遇到递推式
有界
常用不等式
归纳法
单调性
夹逼准则
归结原则（海涅定理）
归结原则（海涅定理）的使用，即使得变量连续化
综合题型
+导数
+积分
+中值定理
+方程（列）
+区间（列）
+极限
√
用定义
用性质
用规则
用准则
函数极限
概念与性质
邻域
一维：区间
二维：区域
“一个局部位置”
定义
语言理解
趋向方式
“显微镜”
“望远镜”
使用
是常数
性质
唯一性
若函数极限存在，则唯一
局部有界性
局部保号性
等式脱帽法
函数极限与数列极限的关系
四则运算
计算
无穷小
无穷小&无穷大的定义
无穷小的类型
判断无穷小的类型
已知函数之间无穷小的类型求解未知参数
无穷小的运算性质
未定型的计算
未定型的识别与处理
化简
提取极限值
极限的运算法则
常用的等价无穷小
重要极限
取大头
有理函数的极限结果
趋向速度
有理化
分段处理
化简先行
等价无穷小替换
恒等变形
及时提出极限存在且不为0的因式
直接计算法
结合函数极限性质
结合运算规则，注意极限存在的前提！
夹逼准则
洛必达法则
注意后验标准
泰勒公式
熟记公式
展开原则
“上下同阶”原则
“幂次最低”原则
拉格朗日中值定理
积分中含有未知参数
换元
已知极限值求解未知参数
求解极限，列出参数等式，求解参数
无穷小比阶
无穷小
定义
无穷小
无穷大
无穷小与无穷大的关系
比阶
不是任意两个无穷小就可进行比阶的， 要比出这五个值
高阶
低阶
同阶
等价
k阶
运算规则
常用等价无穷小
已知一极限求解另外一个极限
找出两者之间的关系
利用导数与无穷小的关系
初等函数泰勒公式展开法
函数极限与连续证明存在性
具体型（若洛必达法则失效，则采用夹逼准则）
抽象型（单调有界准则）
3.连续与间断点
连续
定义
左连续与右连续
判断
定义法
左连续等于右连续
定理性质法
一切初等函数在其定义域上是连续的
可导函数连续
函数可积存在原函数，则原函数连续
闭区间上连续函数的性质
有界性定理
函数在闭区域上连续，则在该区域上有界
最值定理
函数在闭区域上连续，则在该区域上能取到最大值与最小值
介值定理
零点定理
学会已知连续求解参数
根据连续建立参数等式，进而求解出参数
间断点
定义
第一类间断点
跳跃间断点
左右极限都存在且相等的间断点
可去间断点
左右极限存在但不相等的间断点
第二类间断点
无穷间断点
左右极限至少有一个不存在的间断点
震荡间断点
极限震荡不存在的间断点
判断
定义法
反证法
应用——连续与间断
研究位置
无定义点
分段函数的分段点
连续
内点处
端点处
间断
一元函数微分学
导数与微分的概念
导数
导数定义
即导数在一点的问题
抽象函数在一点
特指点
泛指点
四则运算中的特殊点
太复杂的点
不成立的点
分段函数（含绝对值函数）在分段点
无穷导数视为导数不存在。 可导≠光滑。
导数几何解释——割线斜率的极限值，即切线的斜率
在某点可导的充要条件是其左右导数均存在且相等。 可导一定连续，连续不一定可导。
可导的判断
定义法
左导=右导
不连续，则不可导
连续可导与可导的区别
连续可导指可导且导函数连续
微分
微分定义
可微的判别
1.写增量
2.写线性增量
3.作极限——极限等于0则可微
可微几何意义——在该点附近可以用切线段近似代替曲线段
导数与微分的关系
导数与微分的计算
基本求导公式
四则运算
前提是运算的函数均可导
遇到因式超过三个的式子，一般不直接求导
由极限式给出的函数的求导
分段函数的导数
在分段点——用导数定义求导（定义法）
在非分段点——用导数公式求导（公式法）
复合函数的导数& 微分形式不变性
微分形式不变性——无论u是中间变量还是自变量， 该式子都成立
√需注意求导符号的位置——
反函数的导数
y=f(x)可导/连续，其导数≠0
导数必恒正或恒负
导数零点定理
函数单调
存在反函数
其中该反函数的导数
参数方程所确定的函数的导数
隐函数求导法
设函数y=y(x)是由方程F(x,y)=0确定的可导函数
F(x,y)=0两边对自变量x求导，将y看作中间变量； 得到一个关于y'的方程，解该方程
对数求导法——多项乘除、开方、乘方
先取对数再求导
幂指函数求导法
先化成指数函数再求导
高阶导数
归纳法
逐次求导，根据规律得出通式
莱布尼茨公式
见到两个函数乘积的高阶导数，一般用莱布尼茨公式
泰勒公式——十个展开式
写出该函数的泰勒公式/麦克劳林公式， 再通过比较系数来获得高阶导数的值
变限积分函数的求导
被积函数只含有积分变量
被积函数中既含有积分变量又含有未知数
十大题型
导数的应用
几何应用
研究对象
“祖孙三代”
具体函数
抽象函数
函数族
分段函数（含绝对值）
参数方程
直角坐标系下
x=x(t) y=y(t)
极坐标系下
x=r(θ)cosθ y=r(θ)sinθ
隐函数F(x,y)=0
研究内容
切线、法线、截距
“三点两性两值一线”
驻点
驻点与极值点
驻点不一定是极值点，极值点是驻点
极值点
（去心）领域内 任意x的函数值均比极值点的函数值大（小）
最值点
定义域内 任意x的函数值均比极值点的函数值大（小）
定义区分了领域与去心领域 对应广义的、真正的极（最）值点
极值点≠最值点
如果f(x)在区间I上有最值点x，并且此x不是I的端点而是I内部的点， 那么x必是f(x)的一个极值点。
间断点可以是极值点。
拐点
定义
连续曲线的凹弧与凸弧的分界点
连续曲线
凹凸不分先后
拐点在曲线上
拐点的判别
必要条件
二阶可导点是拐点的必要条件
f(x)在x处二阶导存在且点(x,f(x))为曲线上的拐点， 则f(x)在x处的二阶导=0或不存在。
充分条件
第一充分条件
只用一阶导
设f(x)在x处连续，在x处的去心领域内二阶导数存在
x处的左、右领域内二阶导数变号
是拐点
可见判别是否为拐点，并不要求f(x)在x处的导数存在
第二充分条件
用一阶、二阶导
设f(x)在x的某领域内三阶可导，且在x处二阶导=0、三阶导≠0
是拐点
第三充分条件
用n阶导
设f(x)在x处n阶可导，且在x处n-1阶导=0、n阶导≠0
n为奇数
是拐点
求解拐点
拐点的应用
单调性
定义
判别
定义法
导数法
图像法
常见函数判别法
性质法
复合函数同增异减
注意事项
凹凸性
定义
凹凸性的判别
定义法
中点的函数值小于两端点函数值的平均值
凹
中点的函数值大于两端点函数值的平均值
凸
用导数工具
设f(x)二阶可导
二阶导大于0
凹
二阶导小于0
凸
几何意义
极值
极值的判别
必要条件
一阶可导点是极值点的必要条件
“费马定理”
f(x)在x处可导且取得极值， 则f(x)在x处的导数=0
第一充分条件
只用一阶导
设f(x)在x处连续，在x处的去心领域内可导
一阶导先小于0后大于0
极小值
一阶导先大于0后小于0
极大值
不变号
x不是极值点
第二充分条件
用一阶、二阶导
设f(x)在x处二阶可导，且在x处一阶导=0、二阶导≠0
二阶导小于0
极大值
二阶导大于0
极小值
第三充分条件
用n阶导
设f(x)在x处n阶可导，且在x处n-1阶导=0、n阶导≠0
n为偶数，n阶导小于0
极大值
n为偶数，n阶导大于0
极小值
最值（值域）
闭区间
连续函数的最大值和最小值
求出f(x)在开区间内的可疑点， 并求出可疑点处的函数值
驻点——一阶导为0 不可导点——一阶导不存在
求出端点的函数值
比较以上所有函数值，得出最大（小）值
开区间
连续函数的最值或取值范围
求出f(x)在开区间内的可疑点， 并求出可疑点处的函数值
驻点——一阶导为0 不可导点——一阶导不存在
求出端点的单侧极限
比较以上所有所得结果，得出范围
渐进线
铅垂
水平
斜
判别程序
先找出函数的
函数的无定义点 函数定义区间的端点 分段函数的分段点
时，函数值是否趋近于无穷
是
铅垂渐近线
否
时，函数值是否是常数
是
水平渐近线
否
是否是非零常数，求a、b，看a、b是否都存在
是
斜渐近线
作函数图形
确定定义域， 并看是否有奇偶对称性
求出一、二阶导
用“特殊点”将定义域划分为若干子区间
f(x)的无定义点 一阶导=0的点 一阶导不存在的点 二阶导=0的点 一阶导不存在的点
确定函数图形在各个子区间上的单调性、凹凸性
确定函数的极值点、拐点
画表格
确定渐近线
画出图形
经济应用
常见函数
需求函数
供给函数
成本函数
收入函数
利润函数
边际函数与边际分析
边际成本
边际收益
边际利润
弹性函数与弹性分析
需求的价格弹性
供给的价格弹性
收益的价格弹性
学会根据实际问题条件列出经济学函数，解决经济学问题
物理应用×
微分不等式
用函数性态证明不等式
包括单调性、凹凸性和最值等
用常数变量化证明不等式
当不等式中都是常数时
将其中一个或几个常数变量化
利用上述导数工具证明
用中值定理证明不等式
用拉格朗日中值定理或泰勒公式
微分等式 （方程的根、函数的零点）
零点定理（证根的存在性）
f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0， 则f(x)=0在(a,b)内至少有一个根
单调性（证根的唯一性）
f(x)在(a,b)内单调， 则f(x)=0在(a,b)内至多有一个根
其中a,b可以是有限数或无穷大
罗尔原话（罗尔定理的推论）
至多有k个根，则f(x)=0至多有k+n个根
实系数奇次方程至少有一个实根
中值定理
确定区间
确定辅助函数
简单情形
复杂情形
确定使用的定理
有界与最值定理
m≤f(x)≤M
m,M分别是f(x)在[a,b]上的最大、小值
介值定理
m≤μ≤M时，存在ξ∈[a,b]， 使得f(ξ)=μ
平均值定理
零点定理
f(a)·f(b)＜0时，存在ξ∈[a,b]， 使得f(ξ)=0
以函数为研究对象
设f(x)在[a,b]上连续
费马定理
费马定理的证明
定义
f(x)在x处可导且能取极值，则一阶导=0
几何意义
罗尔定理
定义
f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=0 (a,b)内可导 f(a)=f(b)
几何意义
证明
应用
拉格朗日中值定理
定义
f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈(a,b)，使得 (a,b)内可导
证明
应用
证明等式成立
证明不等式成立
求解极限
柯西中值定理
定义
f(x),g(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈(a,b)，使得 (a,b)内可导 g(x)的一阶导≠0
证明
泰勒公式
定义
对比
带拉格朗日余项的n阶泰勒公式
区间上
点的某个领域内f(x)的n+1阶导数存在
则对该领域内的任意点x有
带佩亚诺余项的n阶泰勒公式
局部上
点处f(x)的n阶可导
则存在x0的一个领域，对该领域内的任意点x有
几何意义
用多项式逼近光滑函数
常用麦克劳林函数
=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式
应用
极限计算
无穷小比阶
证明题
求解某一点的泰勒展开式
以导函数为研究对象
积分中值定理
以积分函数为研究对象
常见的关键点总结
其他问题
一元函数积分学
不定积分与定积分
概念与性质
“祖孙三代”的奇偶性、周期性
具体函数
抽象函数
函数族
积分比大小
用几何意义
看面积大小
用保号性
看正负
作差
原函数
概念
原函数存在定理
若函数f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]上存在原函数
【推论】若函数f(x)不连续，存在第一类间断点与第二类无穷间断点，则f(x)不存在原函数
原函数，函数，导数的性质
不定积分
概念
性质
定积分
定积分的定义
定积分的精确定义
基本形（能凑成i/n）
放缩形（不能凑成i/n）
夹逼准则
放缩后再凑i/n
变量形
定积分的定义与数列极限的关系
几何意义
定积分的性质
基本性质
定理
估值定理
积分中值定理
积分中值定理推广
周期性
对称区间上的性质
区间再现公式
可积
可积的充分条件
可积的必要条件
计算
基本积分公式
不定积分的计算
直接凑微分法
分部积分法
推广公式（表格法）
换元法
三角函数代换
万能公式代换
根式代换
倒代换
复杂函数的直接代换
有理函数的积分
定义
求解
含有未知参数的不定积分的计算
分类讨论
定积分的计算
凑微分法
分部积分法
简单计算
被积函数中含有一阶导，二阶导，三阶导
被积函数f(x)或f(x)的一部分中含有积分上限函数
三角代换
根式代换
倒代换
复杂函数的直接代换
分段函数的定积分
分段函数已知
被积函数中含有绝对值
利用定积分的性质计算定积分
华里士公式
其他常用含三角函数的积分等式
变限积分的计算
求分段函数的变限积分
直接求导型
换元求导型
拆分求导型
换序型
反常积分的计算
应用
几何应用
研究对象
x=x(t) y=y(t)
微分方程的解函数f(x)
研究内容
平面图形的面积
旋转体的体积
平面曲线的弧长
旋转曲面面积
函数的平均值
根据条件使用微元法或者公式法建立方程，求解问题
积分等式&积分不等式
积分等式
常用积分等式
通过证明某特殊积分等式求某特殊积分
积分形式的中值定理
积分不等式
用函数的单调性
处理被积函数
已知f(x)≤g(x),用积分保号性证得
用拉格朗日中值定理
用泰勒公式
用放缩法
用分部积分法
用换元法
用夹逼准则求解一类积分的极限问题
曲边梯形面积的连续化与离散化问题
经济应用
微元法
求平均量
求总量
物理应用×
反常积分
反常积分的定义
无穷区间的反常积分
无界函数的反常积分
伽马函数
定义
性质
反常积分的计算
无穷区间上的反常积分的计算
定义法
莱布尼兹法
定积分的方法
无界函数的反常积分的计算
反常积分敛散性的判别
敛散性的判别
1.无穷区间的反常积分敛散性的判别
一、定义法
二、原函数有界
三、比较原则
四、比较判别法
五、比较判别法的极限形式
六、绝对收敛准则
七、常用结论
2.无界函数的反常积分敛散性的判别
一、定义法
二、比较原则
三、比较判别法
四、比较判别法的极限形式
五、重要结论
已知敛散性反求参数
注：若含有无穷区间和瑕点，将其反常积分分开，针对只含有无穷区间或者瑕点的积分求解