考研数学-线性代数思维导图

行列式的计算

1.具体行列式的计算

1.选择0元素最多的行（列）使用行列式展开原理

2.转为三角行列式

3.范德蒙行列式

4.爪形行列式

除了主对角线上的元素外，各列的其他元素都相同，则让各行都减去第一行，得到爪形行列式.

5.分块行列式

6.递推法/数学归纳法

递推法

数学归纳法

7.各行（列）元素之和相等时，将其余列（行）元素都加到第一列（行）

8.加边法

9.行列式或矩阵的性质

10.特征值法

11.定义法

2.抽象行列式的计算

1.利用已知矩阵与未知矩阵的关系（掌握初等矩阵的行列式的值）

2.行列式或矩阵运算的性质

3.相似法

4.利用E的恒等变形

5.特征值法

3.行列式是否为0的证明

1.|A|=0

A不可逆

r(A)<n

|A|=-|A|，则|A|=0

A的行向量或者列向量线性相关

0是特征值

齐次方程AX=0有无穷多解

反证法

2.|A|≠0

A可逆

存在可逆矩阵B，AB=BA=E

r(A)=n

A为满秩矩阵

A为非奇异矩阵

A的行向量或者列向量线性无关

特征值都是非0的

非齐次方程AX=b有唯一解，齐次方程AX=0仅有零解

A可以写成若干个初等矩阵的乘积

A的伴随矩阵是可逆矩阵

A的标准型是E

A的行最简形是E

A的行阶梯有n个非零行

矩阵

1.矩阵的运算&常见矩阵

常见矩阵

同型矩阵

对称（反对称）矩阵

单位矩阵

伴随矩阵

定义法求解

A可逆，利用公式A*A=AA*=|A|E

分块矩阵

三角矩阵

正交矩阵

初等矩阵

行阶梯矩阵

数量矩阵

KE

伴随矩阵

定义

求解

定义法

公式法

矩阵的运算

加法

数乘

乘法

矩阵的乘法没有交换律与消去律

线性运算

2.矩阵的秩

求解矩阵的秩

秩的定义

秩的性质

r(A)=0是A=0的充要条件，A≠0是r(A)≥1的充分必要条件

行向量组的秩=列向量组的秩=r(A)

分块矩阵

矩阵的运算

矩阵的拼接

伴随矩阵

化为行阶梯阵

将矩阵通过初等行变化化为行阶梯形矩阵；根据行阶梯形矩阵即可得出矩阵的秩.

特征值法

若A可以相似对角化B，r(A)=r(B) .即矩阵A的非零特征值的个数

线性方程组法

n-基础解系的个数=r(A)

二次型法

二次型的秩=对应矩阵的秩

等价法

A经过有限次初等变换得到矩阵B，则A与B等价，则r(A)=r(B)

秩的应用

1.秩与向量的相关性

2.秩已知反求参数

例如：A是n阶矩阵，r(A)<n,则|A|=0

5.矩阵方程AX=B

A可逆的时候

第一种方法

第二种方法

A不可逆的时候

转化为求解方程组

4.矩阵的幂运算

1.归纳法

2.分块矩阵法

3.特征值法

4.A的秩为1，A=αβ^(T)

5.A=P^(-1)BP

6.二项式定理

3.逆矩阵

1.判断矩阵可逆

定义法，A是满秩的，存在B，AB=BA=E

行列式法，A是非奇异矩阵，行列式不为0

A的等价标准型为E

A可以写成有限个初等矩阵的乘积

方程组法：齐次线性方程AX=0仅有零解，非齐次AX=b有唯一解

特征值法：A没有0特征值

相关性：A的行（列）向量组线性无关

A^(T)A为正定矩阵

2.求解具体矩阵的逆矩阵

1.定义法

2.公式法

1.常用公式

2.伴随矩阵

3.分块矩阵

4.对角矩阵

5.初等矩阵公式法

3.初等行变换法

3.求解抽象矩阵的逆矩阵

定义法：根据题目条件得出AB=E或者BA=E，得出逆矩阵.

矩阵可逆，利用单位矩阵的恒等变形

向量

1.向量的基本概念

向量的内积

定义

性质

极大线性无关组

定义

n 维向量空间任一线性无关组最多只能包含 n个向量.

求解

若向量组线性无关，则其极大线性无关组就是自身

性质

应用

判断两个向量组是否等价，可考虑他们的极大线性无关组是否等价

正交单位向量

定义

正交矩阵

定义

性质

向量的线性运算

2.向量的相关性

1.向量组相关性的判断

定义法

方程组法

秩

向量组的秩小于向量组的个数

线性表示

至少有一个向量可以由其余 s-1个向量线性表示.

行列式法

s=n时，|A|=0

充要条件

两个向量线性相关的充要条件是对应元素成比例.

重要结论

s>n时，向量组必线性相关【推论：n+1个n维向量必线性相关】

线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.【小白笔记：部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关】

线性相关组分量减少后仍线性相关

以少表多，多的相关

几何意义

单个0向量线性相关

含零向量的任何向量组一定线性相关

2.向量组无关性的判断

定义法

方程组法

秩

线性表示

任意一个向量都不可由其余s-1个向量线性表示

行列式法

s=n时，|A|≠0

n个n维向量线性无关的充分必要条件是组成的方阵的行列式≠0

重要结论

（线性无关组分量增加后仍线性无关）

单个非零向量线性无关

基本向量组 e(1),e(2),e(3)....e(n)一定线性无关.

4.向量组等价

定义

性质

等价的向量组必有相同的秩.反之，不一定

判定

任何一个极大无关组都与向量组本身等价

向量组的任意两个极大无关组都是等价的

3.向量的线性表示

单个向量可由向量组线性表示

定义法

重要定理

方程组法

向量组之间线性表示

定义法

过渡矩阵法

向量组等价法

两向量组等价，则两向量组可以线性表示

反证法

性质法

线性方程组

2.线性方程组的判定

1.齐次线性方程组

A是m*n矩阵

m<n,Ax=0必有非零解【r(A)<m<n】

A是n*n方阵

2.非齐次线性方程组

3.齐次与非齐次两者之间的关系

4.线性方程组的求解

1.齐次线性方程组

系数矩阵做初等行变换化行阶梯（或最简阶梯形）矩阵，求出R（A），基础解系个数为n-R(A),令自由变量，求解基础解系，得出齐次线性方程组的通解【注：自由变量分别令为1，比如有两个自由变量，则令两个自由变量为（0，1）（1，0）求解其他值】

2.非齐次线性方程组

有唯一解，使用克拉默法则求解

无穷多解

增广矩阵做初等行变换化行阶梯（或最简阶梯形）矩阵，令自由变量为0，求解非齐次线性方程组的特解，非齐次通解=齐次通解+非齐次特解

3.线性方程组解的性质与结构

1.解的结构

2.解的性质

1.线性方程组的基本概念

1.齐次线性方程组

2.非齐次线性方程组

3.系数矩阵

方程组的全体系数组成的矩阵

4.增广矩阵

非齐次线性方程组的全体系数与常数项组成的矩阵

5.基础解系

1.定义

2.求解

3.已知基础解系求解参数满足的条件

根据基础解系的性质，列出参数的方程等式

6.阶梯型方程组

特征值与特征向量

1.特征值与特征向量

1.定义

特征方程

特征多项式

2.求解

定义法

特征多项式=0

利用矩阵之间的关系

性质法

3.重要结论

求解特征值不可对矩阵进行初等变换

2.矩阵之间的关系

判断矩阵之间的关系

定义法

性质法

已知矩阵之间的关系反求参数

对称阵A,B合同，则R(A)=R(B)，二次型的正负惯性指数相等，二次型的规范型相等

4.实对称阵

定义

性质

正交变换实现对角化

正交变换对角化的逆运算

施密特正交化过程

3.相似对角化

判断能否相似对角化

相似对角化的过程

二次型

定义

二次型的秩

二次型的秩=r(A)

正定二次型

定义

充要条件

必要条件

正负惯性指数

定义

求解

特征值法

正惯性指数=正特征值个数，负惯性指数=负特征值个数

标准型法

正的平方项的系数的个数=正惯性指数，负的平方项的系数的个数=负惯性指数

规范型法

1的个数=正惯性指数，-1的个数=负惯性指数

已知正负惯性指数反求参数

标准型

定义

求解二次型的标准型

配方法

正交变换法

初等变换法

已知标准型求解参数

已知标准型反求二次型的矩阵A

利用二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值

规范型

定义

二次型的规范性是唯一的，标准型不唯一

求解二次型的规范型

已知规范型求解参数或讨论参数

第一步：确定规范型，第二步：根据规范型以及题目条件求解参数的情况