【考研高数】第一章 函数、极限与连续 (更新中)

考研数学-高等数学篇-第一章框架体系，内容有函数极限、数列极限、连续与间断，基础部分，强化部分持续更新中。

第一章 函数、极限与连续

函数部分

函数极限

定义

函数极限存在与否与该点的函数值没有关系(x→x₀ 表示x₀的去心领域)

极限存在必要条件

x→x₀过程中f(x)处处有定义

sin(1/x)的图像

一个重要结论和不等式

三角不等式

f(x)和ℓf(x)Ι极限关系

函数极限的性质

唯一性

极限存在必唯一

局部有界性

x→x₀极限存在(或为∞)，则f(x)在x₀的去心领域内有界(无界)

x→∞极限存在，则存在X＞0，x＞X时，f(x)有界

局部保号性

已知极限保本身：若x→x₀极限存在且＞0，则f(x)在x₀的去心邻域内＞0

保正负不保0

已知函数保极限

保号性场景

已知极限正负性，求趋向过程中函数正负性

某趋向过程中比较函数大小

关系定理

极限与函数的关系： 若x→□时，f(x)→A，则f(x)＝A+α(x)

无穷小量及其阶

无穷小定义

极限为0的量，称为该趋向下的无穷小

无穷小比阶

同阶

等价

高阶

表示方式

低阶

x→0时，xlnx是比x低阶的无穷小

k阶

计算性质

① 无穷小×有界＝无穷小 ② 无穷大×有界＝未知 ③ 和取低阶原则(有限个无穷小的和) ④ 乘法叠加原则 ⑤ 数乘无关原则

无穷小等价

乘除法可用加减法慎用

等价充要条件：若f(x)～g(x)，则f(x)＝g(x)+°[g(x)]

常见等价无穷小

两种常考形式：f(x)→1，lnf(x)～f(x)-1，fⁿ(x)-1～n[(f(x)-1]

求函数极限

泰勒展开求极限

常用泰勒展开

洛必达法则求极限

使用条件：①型，②去心邻域可导，③结果不能不唯一

极限四则运算

加法：×加×＝未知

乘法：① ×乘✓＝未知，② ×乘×＝未知

七种未定式极限计算

分侧求极限

取整函数 [x]：左闭右开

已知极限求参数

比值极限存在定理(极限存在 ＝A)

① 分母极限＝0 → 分子极限＝0

② 分子极限＝0 且A不等于0 → 分母极限＝0

③ 若f(x)在□处连续 → f'(□)

已知极限求另一极限

法一：泰勒展开

法二：凑待求极限

法三：补项法

法四：关系定理解出f(x)代入

法五：特值法

数列极限

定义

xₙ和ℓxₙΙ极限关系

数列极限存在充要条件

收敛数列的性质

数列极限计算

连续化处理

数列不可求导，不可倒代换

夹逼准则

定义： 存在N＞0，当n＞N时 若 xₙ ≤ yₙ ≤ zₙ，且n→∞时，xₙ＝zₙ＝a 则 x→∞ yₙ＝a

常用放缩方法： ① 放缩分母使分子可相加 ② 令 M＝最大项 (各项均＞0) 则 M ≤ 和式 ≤ nM

单调有界必有极限

步骤

求极限：设极限求极限---找到界限

有界性：数学归纳法 ST1. 检验n＝1时满足 ST2. 假设n＝k时满足 若 n＝k+1满足 则 xₙ均满足

单调性

作差与0比

作比与1比

note：注意xₙ的正负性

求导判断

f'(x) ＜ 0，{xₙ}无单调性

f'(x) ＞ 0

x₁ ＜ x₂，则{xₙ}单调递增

x₁ ＞ x₂，则{xₙ}单调递减

重要不等式



连续与间断

函数连续

定义



连续必要条件

f(x)在x₀处连续，则f(x)在x₀的邻域内 有定义 Note： ① 一点连续推不出该点邻域内连续 ② f′(x)在x₀处连续，则f′(x)在x₀的邻域内存在

连续的充要条件

一点处连续的充要条件：该点左右极限存在且相等

闭区间连续

闭区间连续+端点单侧极限存在

一点处连续的隐含信息

该点领域内f(x)有定义

该点极限存在

连续的保号性

f(x)在x₀处连续，且f(x₀)＞0，则x→x₀时极限存在，且x₀领域内f(x)＞0 Note：一点函数值的正负性，不决定领域内的正负性，除非函数在该点连续

连续函数的性质

初等函数有定义就连续

求初等函数连续区间：找无定义点分段

连续性的四则运算法则-同极限存在性的四则运算法则

复合函数的连续性

反函数的连续性

间断

间断点定义

分类

第一类间断点

可去间断点

跳跃间断点

第二类间断点

无穷间断点

震荡间断点

判定

ST1. 找可疑点：无定义点或分段点

ST2. 求左右极限，判断间断点类型