【考研高数】第二章 一元函数微分学(更新中)

考研数学高数篇-第二章 一元函数微分学基础篇(持续完善中，强化部分待更新)

第二章 一元函数微分学

第一节 导数定义

定义

核心定义 增量型定义 计算型定义 ------------------------------------- Note：①f(x)需在xₒ的领域内有定义 ②定势思维：分段点处导数---用定义 极限与导数挂钩---用定义

单侧导数

可导充要条件： 左右导数存在且相等

闭区间可导： 开区间可导+端点单侧可导

可导与连续的关系

可导必要条件： 若f(x)在x₀处可导 ➨ f(x)在x₀处连续 ➨ f(x)在x₀的邻域内有定义

若f″(x₀)存在 ×➨× f″(x)在x₀处连续 ➨ f′(x)在x₀处连续 ➨x₀领域内f′(x)存在 ➨ f(x)在x₀处连续 一点可导 ×➨ 该点领域内可导，除非该点导函数连续 一点连续 ×➨ 该点邻域内连续

含绝对值导数的几个结论

① y＝(x-a)ᵏΙx-aΙ在x＝a处k阶可导，k+1阶不可导 ② 已知f(x)在x＝a处连续，则： Ιf(x)Ι在x＝a处可导 ➨ f(x)在x＝a处可导 ③ 已知f(x)＝Ιx-aΙg(x)，且g(x)在x＝a处连续，则： f(x)在a处可导的充要条件是：g(a)＝0

导数的推广定义

一凑结构，二看0 note：注意看趋近的方向是正，是负，还是均可

抽象函数的极限问题： 法一：洛必达到导函数连续的那一阶 法二：凑导数的推广定义 法三：皮亚诺余项的泰勒展开

第二节 导数计算

基本要求

常见函数的导数

求导法则

复合函数求导

求导法则：先对中间变量求导。中间变量再对自变量求导

几组符号辨析

一元隐函数求导

由二元方程确定的函数称为一元隐函数 方程两端对x求导，注意y是x的函数

参数方程确定的函数求导



分段函数求导

分段点外直接求

分段点上两法做

法一：导数定义求分段点导数

法二：利用导函数逼近求分段点导数的使用条件： ①函数f(x)在分段点处连续(保证0/0型极限，可洛必达) ②导数极限存在或为无穷大，若不唯一换定义法 Note：若用此方法求出分段点处导数存在，则导函数在该点连续

反函数求导

两类导函数

第一型导函数：直接反解出x(x和y没有互换)

第二型导函数：反解出x后再互换x和y

影响反函数求导后的代值， 而代值永远代入的是原函数的 x的取值(可能需要求出x是多少)

求导法则



注意：两类反函数(x和y是否互换实质是影响)代入值

高阶导数

公式法



泰勒展开法求高阶导

0处的高阶导

非0处的高阶导

递归法

第三节 导数几何意义及切线与法线

几何意义

若f'(x)在x₀处存在，则f′(x₀)表示f(x)在点(x₀,f(x₀))处切线的斜率 Note：点在曲线上

切线与法线

Note：只满足曲线上某点的切线与法线方程 一定判断所求点是否在曲线上

考点---两条曲线相切 若 f(x)与g(x)在x₀处相切(或有公切线) 则 f(x₀)＝g(x₀)，且f′(x₀)＝g′(x₀)

隐函数求切线

方程两端对x求导

参数方程的切线与法线

确定t₀时刻的x₀，y₀与f′(x₀)

极坐标方程的切线与法线

极坐标方程转换成参数方程求切线与法线

第四节 微分定义及计算

微分定义

微分计算

① 等式两端同除Δx取极限得A＝f′(x₀) ② Δy ＝ Ady+⁰(Δx) ＝ f′(x₀)dx+⁰(Δx) dy ＝ f′(x)dx note：Δx ＝ dx，但Δy ≠ dy，A＝f'(x)

微分的几何意义

x₀处的微分(dy＝f′(x₀))表示x₀处 切线的增量

note：① Δy-dy决定凹凸性，同f''(x) ② 单独的dy，Δy决定单调性

第五节 导数的微分学应用

单调性---区间性质

判定

区间I上，若f′(x)＞0(＜0)，则在I内f(x) 严格单调增加(单调减少) 区间I上，若f′(x)≥0(≤0)，且有一段恒为0⁽¹⁾，则在I内f(x)单调不减(单调不增) -------------------------------------------------------------------------- Note：⑴ 单调不减(不增)：强调必须有一段恒为0，若仅各别点为0，则仍然为单调增(减)，如x³ ⑵ 区间I上，若f′(x)＞0→f(x)在区间内单增； 反之f(x)在区间内单增→f′(x) ≥0. ⑷ 若导函数在一点有定义，则导函数在该点不会有第一类间断点

⑴ 若在区间I内f′(x)≥0，则f(x)在I内单调不减 (错误，必须有一段f′(x)＝0才行，如y＝x³在0处导数为0，但y是严格单调增的) ⑵ 若任意的x∈I，f′(x)＞0 → f(x)在I内单调增加 若f(x)在区间I内单调增加 → 任意的x∈I，f′(x) ≥ 0 ⑶ 一点导数正负性不决定邻域内单调性，除非导函数在该点连续(极限保号性)； 一点二阶导数正负性不决定邻域内凹凸性，除非二阶导数在该点连续(极限保号性).

常见函数的构造思路



单调性证明思路

求导判正负，不能判定再求导，直到正负可判，然后找上一阶为0的点.

两个重要不等式

①eˣ-1≥x，(x∈R) ②x≥ln(1+x)，x＞-1

函数不等式证明思路

移项设函数，求导定单调，注意基本不等式的作用

极值---邻域性质

定义

设 f(x)在x₀的邻域内有定义 若 x趋近x₀时，f(x₀)≥f(x)(≤ f(x))恒成立 则 称x₀为极值点，f(x₀)为极值 应用：①作图用定义判定极值点 ②利用 极限保号性判定极值点

判定

可疑点： ①驻点: f′(x₀)＝0 ②f′(x)不存在的点 Note：①端点不可能是极值点，因为只有单侧邻域 ②若f′(x₀)＝A(≠0)，则x₀一定不是极值点

极值必要条件(费马引理)： 取极值且可导，导数为0 Note：x₀处取极值，则f′(x₀)＝0或不存在

极值充分条件(判定)： ⑴ 定义法(图像可画)：作图，极限保号性 ⑵ 极值第一充分条件(一阶导左右正负易判)： 设 f(x)在x₀处 连续 若 f′(x)在x₀的左右领域异号，则 x₀为极值点 ⑶ 极值第二充分条件(二阶导易求)： 设 f(x)在x₀处 二阶可导(⇨连续) 若 f′(x₀)＝0，f″(x₀)≠0，则x₀为极值点 note：①第二充分条件有局限性，只能判定驻点 对于一阶导不存在的点用定义法或第一充分条件. ②若 f′(x₀)＝0，f″(x₀)＝0，无法确定(此方法失效)，如x⁴和x³ ⑷ 极值第三充分条件(泰勒展开证明)： 设 f(x)在x₀处 n阶可导，且f(x)在x₀处的1阶到n-1阶导均为0，f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0 若 n为 偶数，则x₀为极值点 若 n为奇数，则x₀不是极值点 ---------------------------------------------------------------- Note：充分条件法判定极值，均有要求在可疑点处连续； 但极值定义不要求函数连续，故间断点也可能是极值点，但无 法用充分条件判定(x₀处不连续) 此时可采用定义法判定.

常见求极值题型

定义法求极值

一元隐函数求极值

二阶导数正负性好判断，用第二充分条件

参数方程求极值

分段函数求极值

分段点上导数值不易求，选用第一充分条件判定，见例2.42

极坐标方程求极值

最值---区间性质

闭区间连续函数最值(一定有)： 比较区域内极值和端点值 开区间连续函数最值(不一定有)： 比较区域内极值和端点单侧极限 不一定有最值，若端点极限＜极小值，则无最小值 Note: 区间内(不分开闭)连续函数唯一极值点就是最值点

曲线凹凸性---区间性质

三种定义：以凹曲线为例 ①割线≥曲线 ②切线≤曲线 ③区间中点函数值＜中位线

判定： 设f(x)闭区间连续，开区间二阶可导 ① 若任意的x∈I，f′′(x)＜0，则曲线f(x)在I上为凸 ② 若任意的x∈I，f′′(x)＞0，则曲线f(x)在I上为凹

拐点(x,f(x))

定义

曲线上凹凸性发生改变的点

判定

可疑点： ①f″(x₀)＝0 ②f″(x)不存在的点 Note：若f″(x₀)＝A(≠0)，则x₀一定不是拐点 拐点的必要条件： 取x₀拐点且二阶导存在，则f′′(x₀)＝0

拐点充分条件(判定)： ⑴ 定义法 ⑵ 拐点第一充分条件(二阶导左右两侧正负易判): 设 f(x)在x₀处连续且去心邻域内f″(x)存在 若 f″(x)在x₀左右邻域两侧异号 则 x₀处取拐点 ⑶ 拐点第二充分条件(三阶导易求): 若 二阶导为零，三阶导不为零，则取拐点 ⑷ 极值第三充分条件(泰勒展开证明)： 设 f(x)在x₀处 n阶可导，且f(x)在x₀处的1阶到n-1阶导均为0，f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0 若 n为奇数，则x₀取拐点 若 n为偶数，则x₀不取拐点

渐近线

⑴ 垂直渐近线(无穷间断点): step1：找无定义点x₀ step2：求f(x)在x₀处的极限 若至少一侧极限∞，则x＝x₀为垂直渐近线 ⑵ 水平渐近线 若x→∞时极限为A，则y＝A为水平渐近线 ⑶ 斜渐近线：y＝ax+b

note：同一方向上，有水平渐近线则无斜渐近线

曲率(k＞0)



方程根与函数零点问题

证明方程根的存在性

至少有：零点定理、罗尔定理

至多有：罗尔定理推论：fn阶导数≠0，则f至多n个零点 单调性(用于求至多1个零点)

有且仅有：至多有+至少有的组合

求解方程根(零点)个数：本质是研究函数图形性态，核心在于单调性

不等式证明

函数不等式证明：移项设函数，求导定单调

参数不等式证明： 法一：参数a或b换成x，转换为函数不等式证明 法二：分离参数a,b，而f(a)与f(b)的对应法则相同

连续的必要条件：领域内有定义