【考研高数】第三章 不定积分基础篇

考研数学高数篇-第三章 不定积分(持续完善中，强化部分待更新) 适用于考研数学周洋鑫老师的教学体系

第三章 不定积分

一、不定积分定义与性质

定义

原函数

若任意x∈I，F'(x)＝f(x)，则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数

Note：初等函数的原函数不一定是初等函数 不定积分五大不可积：

不定积分

f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分，记做：∫f(x)dx＝F(x)+c

不定积分至高理解

甲对乙积分＝丙，则丙对乙求导＝甲(即：对谁求导，就对谁积分) Note：① 注意积分变量 ② 注意复合函数求导中两种符号辨析

不定积分(原函数)的存在性

⑴ 若f(x)在I上连续，则I上其原函数∫f(x)dx一定存在 ⑵ 若f(x)在I上有定义且具有第一类间断点或无穷间断点，则I上其原函数一定不存在 ⑶若f(x)在I上具有震荡间断点，则I上其原函数可能存在

性质

线性运算性质

不定积分与微分互为逆运算

二、不定积分的计算

基本积分表

凑微分法(第一类换元法法)

常见凑微分形式

五种常见题型

(1) eˣ类积分：往往在dx前配一个eˣ







(5) 三角函数的积分

∫sinxⁿdx / ∫cosxⁿdx： ① n为奇数：拿一个凑微分 ② n为偶数：倍角公式降幂

三角有理式积分： ① 万能公式代换 ② cosx与1相碰，立即干掉1 ③ sinx与1相碰，半角公式凑完全平方 ④ 含有Asinxⁿ+Bcosxⁿ：往往上下同除cosx的最高次幂 ⑤ secⁿx：永远拿一个sec²x凑tanx tanⁿx：永远拿一个tan²x改sec²x-1

两个公式

积化和差公式

辅助角公式

第二类换元法

三角代换

note： ① 做完后要换回 ② 不定积分三角代换直接开放，不用绝对值

无理根式代换

万能代换

分部积分法

不同类型的函数相碰---分部积分法

三指相碰的行列式法和循环相消：

乘法求导公式的逆用： ∫(A′B+AB′)dx＝∫(AB)′dx＝AB

有理分式积分

真假分式转换

有理分式拆分： step1：拆分前保证分母已经因式分解到最简 step2：根据括号内决定分子次方数，括号外决定项数进行拆分 step3：利用特值法确定待定系数

分段函数不定积分

分段点外直接积，分段点上上连续