数列极限（包含数列收敛）

《数学分析》强化数列极限 ，包括基本极限，求极限的基本方法，递推问题，平均值定理与斯托克斯公式，单调有界原理，求极限用到的工具。

数列极限

• 基本极限
  • 带n次方：根式判别法
  • 带n次根号：平均值不等式
    • 若收敛，使用小于号的不等式；若发散，使用大于号的不等式
  • 分子相乘；分母相乘：取ln分隔开；多项式相乘：取ln分隔开；
• 求极限的基本方法
  • 拟合法
    • 泰勒展开到相同阶数的下一阶，利用保号性，下一阶的值趋于零，则展开到相同阶数的值为零，产生等价关系，利用拟合，算原式以外的极限，极限相等。只算一个
  • 迫敛性
    • 可以直接使用平均值不等式；可以从中挑出最大的； 可以直接对分母进行放缩； 可以借助不等式进行放缩；
  • 积分法
    • 注意1：是逐步从0走到1的；注意2：基本积分公式要掌握
  • 迫敛性+积分法
    • 不是逐步的去放缩成逐步；可以直接对分母进行放缩； 可以借助不等式进行放缩； 放缩完成后对不等式两边进行积分
  • 洛必达法则
    • 分子分母同趋于0或无穷大，洛必达法则
• 递推问题
  • 不再需要使用单调有界原理
  • 通项公式法
    • 根据等比数列的公比确定是否收敛，若收敛，收敛值可带入求出
  • 斐波那契数列型
  • 压缩映射原理
    • 有压缩映射，只需要使其导函数的绝对值放在(0,1)这个区间里面，便可得到收敛，假设极限值求出
• 平均值定理与斯托克斯公式
  • 平均值定理
    • 使用了分段法
    • 注意使用两个公式
      • 对于一个数列不用管，直接带
      • 一个数列，奇数列，偶数列趋向不同极限值分清楚
    • 推广：两个数列倒乘问题，使用了平均值定理的分段法
  • 斯托克斯公式
    • 使用斯托克斯之前，一般将分母数列严格单调递增趋于正无穷得出
      • 1）根据单调有界原理，得到数列收敛到0，取倒数，则倒数列严格单调递增趋于正无穷
        • 单调一般从已给公式中推导得出
    • lim（数列a的后一项-前一项）/（数列b的后一项-前一项）=A,(n-->∞),A为有限数或+∞或-∞
      • 数列bn严格单调递增趋于正无穷
    • 使用斯托克斯公式之后，一般根据题目条件或者泰勒展开式或等价无穷小将确定的数字得出
  • 阿贝尔变换的应用
    • 先乘积在求和=
      • 可以解决平均值定理尾项不趋于0而导致的行不通的情况
      • 邻项相减，与级数做乘积+尾项
• 分段法及函数形式的平均值定理与stolz公式
  • 分段法
    • 带有定积分的极限
      • 1：给趋于0的函数大部分区间 2：给趋于1的区间为零测集
    • 带有反常积分的极限
  • 函数形式的斯托克斯公式
    • 1：使用斯托克斯之前，一般将分母g函数严格单调递增趋于正无穷得出 2：函数f,g在任意有限区间有界
      • 一般给出函数
    • lim（f右侧点处的函数值-左侧点处的函数值）/（g右侧点处的函数值-左侧点处的函数值）=A,(n-->∞),A为有限数或+∞或-∞
      • limf/g=A
  • 上极限与下极限
    • 数列的上下极限是存在且唯一的
      • 数列收敛的充要条件是任意子列都收敛，且极限相同
        • 数列收敛的充要条件是：上极限=下极限
          • 针对于数列an的等式关系的
• 单调有界原理
  • 适用数列
  • 判断数列收敛的方法
    • 在此处充要条件：奇数项子列和偶数项子列均收敛到同一个极限
    • 显然法：单调递有界
    • 单调性的判断
      • 相减法
        • 由此得出（特殊）欧拉常数
        • 利用不等式与0比较
        • 特列——相减法延伸：微元法-积分法（积分相减有中值定理）
      • 相除法
        • step1:先看数列所属范围（比如分母不为0；数列固定在一定区间） at：方法：先假设所属范围---显然法/平均值不等式，得仍属此范围step2:用相除法，利用区间范围/题目条件得结果与1比较，得单调性step3:单调性+固定范围，得收敛，假设极限值求出
      • 不等式法
        • 当有两个数列时，使用算数平均数大于几何平均数；算数平均数大于调和平均数，得到单调有界当只有一个数列存在时，根据不等式得到单调关系；根据条件得范围，得收敛，假设极限值求出
          • 不论多少数列，注意数列之间是不等式关系
      • 反证法
        • 根据等比数列，特定的
      • 递推法
        • 1：变成函数f去求导,得到f的单调性2：根据定义区间， 利用定义区间得x单调性， 利用f单调性得x的范围
          • 注意使用单调性/数列的或xn+1=f(xn)的单调性
• 求极限用到的工具
  • 三角函数
    • 三角函数公式
    • 积化和差公式
  • 初等不等式
    • 平均值不等式
      • 待证
    • 含e的n的不等式
      • 分母指数相同时单调递增，指数比分母大1单调递减
    • 柯西不等式
    • 伯努利不等式
    • 第四页四个特殊的不等式