函数列的一致收敛性

《数学分析》强化函数列收敛性 知识点总结，内容涵盖理论基础，数值实践，理论实践，理论强化四个方面的内容。

函数列的一致收敛性

• 1. 理论基础
  • 若是逐点收敛，与x有关； 若一致收敛，与x无关，x取任意值
    • 像拟合，函数越来越接近
  • 函数列在区间上一致收敛于函数的条件
    • 充分条件
      • 函数列与函数 差的绝对值<趋近于0的正数列(n->∞)
    • 充要条件
      • 函数列与函数差的绝对值的上确界=0(n->∞)
        • 不一致收敛的充要条件：存在一个自变量数列，差值或最大差值永不收敛到零
          • 这个致使函数列不一致收敛的求法： 1)直接代入 2)对函数求导，导数=0时，得到函数最大值，看它与函数差值
• 2. 数值实践
  • 题目类型：
    • 求函数列的：1)收敛函数 2)收敛区间 3)一致收敛区间
      • 2)当x像不存在一样求出收敛区间 3)在不一致收敛的情况下，若找出更小的区间上一致收敛，则称在原区间上内闭一致收敛
        • 不一致收敛的原因是x瞎取值导致的
          • x有时在0处出现问题，有时在无穷远处出现问题
  • 答题步骤：
    • 1)先判断函数列在一个区间上收敛到的极限函数
      • 这个区间即为收敛区间
      • 如果符合函数列一致收敛的充分条件，则在整个区间上一致收敛，若不符合，开始第二步
    • 2)对特定的函数列，若得到不一致收敛的充要条件，则在这个区间上不一致收敛
      • 可能在数列x趋于∞或0时出现问题，即x=±n或x=1/n，也可能需要求导才能得到
    • 3)<1>在无穷远处出现问题，用[a,b]解决； 若<2>在0处出现问题，用[a,+∞)解决； 则在这些小区间上一致收敛，在大区间上内闭一致收敛。
      • way2：针对特定的函数列，对函数列的x求导，找到单调递减区间，将小区间放到单调递减的区间里，即a≥x0(导数=0的点,包含n出现，得到n≥某个值)，此时n从某一固定值趋于∞，因为有限项的取值不会改变函数列的收敛性
      • way1：对于所有的函数列，在这些小的区间上，直接使用一致收敛的充分条件
• 3. 理论实践
  • 两个小破题，用不甚相关的积分，看懂就行
• 4. 理论强化
  • 四则运算
    • 加减数乘
    • 乘法
      • 用到杂交放缩原理
        • 前提条件：每个函数列一致收敛于极限函数且函数列的每一项都有界，
    • 除法
    • 复合
    • 收敛，一致收敛，有界，一致有界的关系
  • 函数列在区间上一致收敛于函数的条件
    • 充要条件
      • 柯西准则
        • 函数列中任意两个不同的项相减，绝对值＜3
          • 先出现3，再出现N，再出现n,m,最后是任意的x
      • 端点法
        • 函数列在(a,b)一致收敛，函数列的每一项都在端点a,b处连续，则函数列在闭区间一致收敛
          • 特别的，将端点处代入到函数列中，得到数列也收敛
          • 函数列不一致收敛的情形
            • 若函数在闭区间连续，在开区间收敛，若在端点处发散，则开区间不一致收敛