数项级数的绝对与条件收敛收敛

《数学分析》强化数项级数收敛的知识梳理，详细的总结了数项级数，数项级数的收敛，条件收敛与绝对收敛。

数项级数

• 数项级数
  • 是指无穷个数之和
• 数项级数收敛
  • 展开为收敛的方法
    • 定义：无穷数之和趋于固定值
  • 一般形式
    • 1：等比级数 2：一裂项相消3：等比差级数
  • 数项级数收敛基本准则
    • 必要条件：通项-->0
    • 充要条件：柯西准则
  • 子列问题
    • 在无穷远处，奇数个项之和=偶数个项之和=S，则原数项级数收敛=S
  • 正项级数
    • 比较原则
      • 小于收敛收敛，大于发散发散
      • 比较原则
        • 1：比值固定且不为0，同敛散2：比值为0，下收敛，上收敛3：比值∞，上收敛，下收敛
          • 比的级数类别
            • 1：已知敛散性的（比如次数>1都收敛） 2：收敛的等比级数 3：比值构成导数，直接求出导数值当比值
          • 是无穷远处的通项相比
      • 讨论敛散性：等价无穷小和泰勒公式的变形，比较p与1的关系
      • 比较原则的变形
      • 对于两个不同的级数，根据比较确定出要求的一项的敛散性
    • 比式判别（达朗贝尔）与根式判别（柯西）
      • 比式判别：同一级数，后一项比前一项的极限
        • 上极限＜1收敛，下极限>1发散
        • 若不能用比式判别，需说明下极限＜1，上极限>1
      • 根式判别：通项n次根号的极限
        • 上极限＜1级数收敛，上极限>1级数发散
          • 上极限>1说明通项不为0，直接发散，下极限无所谓
        • 通项排第几项，就开多少次根号
      • 做题tips
        • 遇到指数上（-1)^n当做阻碍，直接放缩，对放缩后的两边在使用根式判别，采用迫敛性，观察极限值
        • 遇到给出条件为数列形式的，用数列关系求出通项（斐波那契数列），在使用根式判别
      • 同一级数，后一项比前一项
    • 积分判别法和拉贝判别法
      • 积分判别法：只讲了函数单调递减，级数和积分同敛散
        • 与求极限积分法出现n和k不同,级数只有n，那n就为x
      • 拉贝判别法：
        • 解决比式判别法和根式判别法都失效的情况
        • 不等式：>1收敛，≤1发散极限：>1收敛，＜1发散
        • PS：公式的收敛发散是 根据伯努利不等式给出的，包含与1相比的情况根据极限形式给出的，不包含与1相比的情况
        • 做题tips
          • 斯特林公式： n!和n^n出现
          • 沃利斯公式：出现双阶乘相比的情况
    • 放缩法证收敛；柯西准则证发散
• 条件收敛与绝对收敛
  • 正项级数要收敛即为绝对收敛，要发散就发散
  • 一般项级数
    • 大题
      • 一般项收敛判别方法
        • 莱布尼兹判别法：如果数列单调趋近于0，交错级数收敛
      • 判断条件收敛性和绝对收敛性
        • Step1:绝对收敛：对通项加绝对值一般会出现两种情况
          • 讨论p级数的一致收敛性，p>1收敛，p≤1发散 对非n的指数类型的， （1）使用等价无穷小直接得出指数类型，继续上面步骤 （2）使用等价无穷小与正项级数的比较原则，得一固定且不为0的值，同敛散
          • 多次ln的情况，观察p,q,r
        • Step2:条件收敛：观察数列性质是否符合判别法
          • 不满足绝对收敛，但满足收敛的为条件收敛
          • 莱布尼兹判别法
            • 判断单调性
              • 看通项是否单调趋于0即可
              • 直接观察
              • 求导
                • 1：可以将n变为x，对函数进行求导，得出单调 2：若出现sinx,cosx一类，将cosnπ=(-1)^n,sinnπ=0与通项关联起来 3：数列在n的指数位置出现的x当做p对待，并进行分类讨论，将n变为y继续求导即可
              • 若确级数是正项级数，则继续使用比较原则
          • A-D判别法
    • tips
      • 1:因为级数中的n充当积分中x的作用，所以有条件收敛和绝对收敛2:不是正项级数，不能使用根式判别法