第2章矩阵

李永乐线代第2章矩阵，汇总了矩阵的概念、矩阵的运算、初等变换、逆矩阵、秩、特殊矩阵、证明、相关公式的知识，欢迎学习。

第二章 矩阵

• 矩阵的概念
  • 是一个表格
    • 注意和行列式相区分
• 矩阵的运算
  • 加
  • 数乘
  • 两个矩阵相乘
    • 要注意三个方面
      • P27辅导讲义
    • 矩阵不能被除
    • 列向量在前是向量，行向量在前是数
  • 矩阵多项式
    • 找到对应的对角矩阵
      • P43课本
  • 题型
    • 方阵的幂
      • 每行对应成比例，r=1
        • 分解成列向量和行向量乘积
        • A^n
          • l
      • 三角形矩阵的n次方
        • 3阶矩阵的2次方
          • 3阶矩阵的3次方
        • 4阶矩阵的3次方
          • 4阶矩阵的2次方
      • 相似矩阵
        • 迂回算法
      • 分块矩阵
        • 主对角线上的n次方
          • 副对角线上没有
    • 分块矩阵
      • 运算
        • 加法
        • 乘法
        • 转置
          • 主不动副调换
        • 求逆
          • 利用定义+分块矩阵乘法法则
            • 不可以采用平常的伴随矩阵求逆的方法，因为A*只能一次去掉一行一列，但要是分块矩阵的话，就会去掉好几行好几列
        • 两个0
          • n次方
            • 只有主对角线上才可以
          • 求逆
            • 主不动副调换
      • AB=O
        • B O按列
          • B的列向量是Ax=0的解
          • 知道解也要会组装成想要的矩阵
      • AB=C
        • B C按列
          • 求解非齐次方程组
        • 线性表出
          • B C按行
          • A C按列
• 初等变换
  • 由解方程组的消元过程对应到矩阵的初等行变换
    • 不能进行列变换，虽然列变换也是初等变换的一种
  • 初等矩阵
    • 类型及其逆
      • 行列互换
        • 初等行变换
          • 左乘初等矩阵
        • 初等列变换
          • 右乘初等矩阵
      • 倍加
      • 数乘
    • 题型
      • 子主题
  • 等价
    • PAQ=B
    • 秩相同
• 逆矩阵
  • 证法
    • 定义
      • 一般要证两个方面
        • AB=BA=E
      • 如果A是n阶矩阵，满足一个方面AB=E，则A的逆就是B了
        • 证明
          • 利用了单位矩阵的变形
  • 求法
    • 定义
      • AB=E
    • 初等变换
    • 伴随矩阵
      • 伴随矩阵别忘了转置代数余子式
• 秩
  • 计算
    • 低阶
      • |A|
        • 为0
      • 二阶不全为0
    • 高阶
      • 把矩阵化为行阶梯型矩阵来求
  • 公式
    • P19
    • 辅导讲义
      • P31
• 特殊矩阵
  • 伴随矩阵
    • 常用公式是什么
      • A-1
      • A*
      • （A*）-1
      • （A-1）*
    • 求法
      • 二阶
        • 主对角线元素互换，副对角线变号
      • 三阶
        • 计算余子式
        • 加符号
        • 转置
  • 对称矩阵
  • 反对称矩阵
  • 正交矩阵
    • A^T*A=E
      • A^-1=A^T
        • |A|^2=1
    • 列向量长度为1，两两正交
      • 正交是内积为0的意思
      • 行向量同理
  • 对角矩阵
• 证明
  • 证明矩阵A=O的充要条件
  • 证明方阵A可逆的充要条件
• 相关公式
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