1、行列式

考研线性代数（数二），汇总了代数余子式：、行列式计算的知识，大家也可以用于备考复习。

行列式

• 细枝末节
  • 行列式性质
    • 行列式有公因数k
      • 某行/列有公因数k：k|A|
      • 行列式整体有公因数k：
      • 公因数k提到行列式外面
    • 行列式两行/列互换，行列式变号
    • 某行/列的k倍加到零一行/列，行列式不变
    • 选择填空常考： 通过行/列交换或k倍加到某行/列，凑成符合题干提供的行列式
    • 行列式拆成两个行列式：
  • 克拉默法则
    • 非齐次线性方程组：
    • 齐次线性方程组
      • 有非零解，则|A|=0
      • 有零解，则|A|≠0
    • A是方程组的系数矩阵
  • 矩阵表达式可以等式两边行列式化
  • 上/下三角行列式：对角线必须是主对角线，不能是副对角线
  • 代数余子式（伴随矩阵）与转置矩阵（重点）：
• 代数余子式：
  • 余子式与伴随矩阵
    • 余子式：
    • 伴随矩阵（由代数余子式组成）：
  • 题型
    • 已知行列式A
      • 求某行/列各元素的代数余子式之和
        • 1、将该行/列的元素用代数余子式的系数替代
        • 2、替换后行列式A的值即为答案
      • 求某行/列各元素的余子式之和
        • 1、将该行/列的余子式改造成代数余子式形式
        • 2、方法同代数余子式...
    • 已知A的特征值，
      • 1、根据A的特征值，求出伴随矩阵的特征值
        • 第五章特征值知识点
      • 2、伴随矩阵的迹=伴随矩阵的特征值之和
    • 求A所有元素的代数余子式之和
      • 直接法：求出每一个元素的代数余子式
      • 伴随矩阵法：
        • 1、求出A的行列式和逆矩阵
        • 2、根据伴随矩阵得到答案
• 行列式计算
  • 抽象行列式
    • 单位矩阵恒等变形
      • 已知某行列式，求另一个行列式（题型特征）：
      • 两边加E：
      • 中间加E：
    • 矩阵公式：
    • AB=0：齐次方程
      • 特征：题干提供矩阵表达式，将等式一边的矩阵移到另一边，凑齐次
      • 方法
        • 秩分析
        • 非零解分析
    • 相似：向量线性无关，隐藏相似的条件
    • 特征值
  • 具体行列式
    • 一般行列式
    • 公式型行列式
      • 2阶/3阶行列式计算方法
      • 主对角线行列式：即上/下三角行列式
      • 副对角线行列式：
      • 拉普拉斯展开式
        • 主对角线：
        • 副对角线：
      • 范德蒙行列式：行列式第一行元素全为1
      • 记住公式，直接得出行列式答案
    • 特殊行列式
      • 0很多
        • 某行/列中间元素全是0：将该行/列展开计算
        • 0的分布有规律
          • 1、行/列互换
          • 2、凑出拉普拉斯展开式
      • ×型行列式：降阶法
        • 1、主对角线两端点乘积减去副对角线两端点乘积
        • 2、阶数降一
      • 各行/列元素和相等
        • 1、将第2至n行/列的元素都加到第一行/列， 使第一行/列各元素产生公因子
          • 如果加到第一行没有产生公因子，则尝试加到第一列
        • 2、第一行/列将公因子提到行列式外面，然后行列式展开
      • 特征值多项式（3阶）
        • 推广：凡是行列式的主对角线元素含未知参数，都可以尝试本方法
        • 1、两行/列加减，使得某两行/列含λ的元素产生倍数关系， 且使第三个不含λ的元素为0
        • 2、行列式展开
      • 三对角线行列式：
        • 阶数≤4
          • 逐行加至第一行
            • 1、第二行加到第一行，消去第一行一个元素
            • 2、第三行加到第一行，消去第一行一个元素
            • 3、...最后第一行只剩下一个元素，然后展开计算
          • 逐行相加法
            • 1、第一行加到第二行，消去第二行一个元素
            • 2、第二行加到第三行，消去第三行一个元素...
            • 3、...最后形成上/下三角
        • 阶数为n时
      • 箭型行列式
        • 显式箭型
          • 特征：除主/副对角线和两条边线上的元素，其余元素均为0
          • 方法
            • 1、转换：通过主/副对角线上的元素， 将其中一条边线的元素全部化为0
            • 2、转换区别
              • 主对角线：转换成上/下三角行列式
              • 副对角线：三角行列式
        • 隐式箭型
          • 形态
            • 除主/副对角线上的元素，矩阵同行或同列的元素相同
              • 只要求同行/列的元素相同：
            • 除主/副对角线上的元素，对角线上方和下方的元素全部相同：
          • 方法
            • 一般方法
              • 1、第一行/列元素加到其余各行/列，消去除主/副对角线以外的相同元素
              • 2、使用显式箭型的方法计算行列式
            • 升阶法
              • 如果同时满足：各行/列元素和相等，则优先使用元素和相等的方法
              • 1、加边
                • 1、令
                • 2、令
                • 3、令
                  • 重点：确定x1、x2...的取值 1、分析第二列相同的元素：a1 2、x1=a1 x2、x3...Xn=第二列对应元素除以x1
                • 可以颠倒过来
              • 2、按照一般方法消去相同元素
• 子主题标上序号即表示解题步骤/思维，无序号则表示不同的情况/题型
  • 解题步骤/思维
    • 1、
    • 2、
    • 从上往下即为解题步骤/思维
  • 不同情况/题型
    • xxxxx
    • xxxxx
    • 开头无序号，即表示题型分叉