《线性代数》向量组的线性相关性

《线性代数》向量组的线性相关性，本图内容包含向量组及其线性运算、向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组解的结构，一起来看。

向量组的线性相关性

• 向量组及其线性运算
  • 定义
    • 矩阵的加法就是矩阵对应元素相加，当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数，即只有同型矩阵方可相加。
  • 运算
  • 运算律
• 向量组的线性相关性
  • 线性组合
    • 定义
      • 、
  • 线性相关与线性无关
    • 定义
      • 在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立。反之称为线性相关。
  • 向量间线性关系定理
    • 1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。
    • 2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。
    • 3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
    • 4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
    • 5、n+1个n维向量总是线性相关。
• 向量组的秩
  • 极大无关组
    • 定义
      • 要定义向量组的秩，首先要定义极大线性无关向量组。 向量组T中如果有一部分组α1，α2，···，αr满足： α1，α2，···，αr线性无关； 任取向量组T中β，有α1，α2，···，αr，β线性相关。 则称α1，α2，···，αr为向量组T的一个极大线性无关向量组，简称为极大无关组。
  • 向量组秩的定义及求法
    • 定义
      • 一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0.向量组α1，α2，···，αs的秩记为R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。
• 线性方程组解的结构
  • 齐次线性方程组的解
  • 非齐次线性方程组的解
    • 常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。 非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b