《线性代数》相似矩阵及二次型

《线性代数》相似矩阵及二次型思维导图，内容有向量的内积、长度及正交性、方阵的特征值与特征向量、形似矩阵、实对称矩阵的对角化、二次型及其标准型。

相似矩阵及二次型

向量的内积、长度及正交性

向量的内积

定义

向量的长度与夹角

长度

一个向量的长度等于他和他自己的内积的平方根。

夹角

这个向量与他自己是重合的，夹角为0。

规范正交基

设V为向量空间,如果r个向量ai,az,.,a,EV,且满足:V中任一向量都可由a1,az,···,a,线性表示，则向量组ai;a2，··,a,称为向量空间V 的一个基，称为向量空间V 的维数，并称V为维向量空间。

设x=(x1,z2,...,z,),y=(y,yz,...,y,)ER”。如果(x,y)=0,则称X与y正交。记作xLY。 显然,零向量与任意同维向量都正交。

如果一个向量组中不含零向量,且其中任意两个向量都是正交的(简称为两两正交),则称这个向量组为正交向量组。

设S={er,e,·,em(2mn)是R”中的一个正交向量组,且其中每个向量都是单位向量,则称这个向量组为标准正交向量组。若向量空间的一个基是正交向量组，则称这个基是正交基。若向量空间的一个基是标准正交向量组,则称这个基是标准正交基或规范正交基。

施密特正交化方法

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

正交矩阵

方阵的特征值与特征向量

设A为n阶实方阵，如果存在某个数及某个n维非零列向量，使得，则称是方阵A的一个特征值，是方阵A的属于特征值的一个特征向量。

设A为n阶实方阵，为一个参数，称n阶方阵为A的特征方阵，它的行列式称为A的特征多项式，把称为A的特征方程，把特征方程或特征多项式的根称为A的特征根。

形似矩阵

相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B,则称矩阵A与B相似，记为A~B

实对称矩阵的对角化

实对称矩阵的特征值一定是实数;特征向量一定是实向量

实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定是正交向量

设A为”阶对称矩阵，是A 的特征方程的重根,则一A 的秩rI-A)-n-r,从而对应的特征值恰有r个线性无关的特征向量。

定理 4-4-4(对称矩阵基本定理) 对于任意一个n阶实对称矩阵A,一定存在n 阶正交矩阵P,使得,对角矩阵A 中的n 个对角元1,2,·,,就是A的n 个特征值。凡是正交相似于对反之角矩阵的实方阵一定是对称矩阵

二次型及其标准型

任意给定一个n元实二次型f(z,，.”,z,)-ax;;，就唯一确定一个 n 阶实对称矩阵A=(ag)x;反之,任给一个对称矩阵A=(a)nx，也可唯一确定一个实二次型。称A是二次型广的矩阵,称f是对称矩阵A 的二次型。对称矩阵A的秩称为二次型f的秩。

用配方法转换二次型为其标准型

正定二次型