微分中值定理及导数应用

微分中值定理及导数的应用，有单调性、极值、最大最小值、曲线的凹凸性、曲线的渐近线、曲率，欢迎大家学习。

微分中值定理及导数应用

• 微分中值定理
  • 费马引理
    • 可导，取得极值，导数为0
  • 罗尔定理
    • 闭区间连续，开区间可导，在区间两端点值相等，则在区间内必然存在一点导数值为0
  • 拉格朗日中值定理
    • 闭区间连续，开区间可导，在区间内存在一点ξ，使得
  • 柯西中值定理
    • 闭区间a，b连续，开区间a，b可导，且每一点导数值均不为0，则至少存在一点ξ，使得
  • 泰勒公式
    • 皮亚诺余项
    • 拉格朗日余项
• 导数的应用
  • 单调性
    • 闭区间连续，开区间可导，在区间内一阶导数大于0，函数单增；一阶导数小于0，函数单减
  • 极值
    • 必要条件：极值点可导，导数为0
    • 第一充分条件
    • 第二充分条件：二阶导数大于0，极小值；小于0，极大值。
  • 最大最小值
    • 不可导点
    • 驻点
  • 曲线的凹凸性
    • 凹凸性：二阶导数大于0，凹的；二阶导数小于0，凸的。
    • 拐点
      • 必要条件：在x0处二阶可导，(x0,f(x0))为拐点，则二阶导=0
      • 第一充分条件
      • 第二充分条件：三阶导不为0，是拐点。
  • 曲线的渐近线
    • 垂直渐近线
    • 水平渐近线
    • 斜渐近线
  • 曲率
    • 公式
    • 曲率半径：互为倒数