第一章函数、极限与连续

考研高数第一章函数、极限与连续 复习思维导图，如复合函数：y=f(u)(uÎDo),u=j(x)(xÎD1)Þy=f[j(x)](xÎD1)。

函数、极限与连续

• 函数
  • 邻域，集合{x| |x-a|<d}为点a的d邻域（d>0），记为U(a,d)
  • 去心邻域，集合{x| 0<|x-a|<d}为点a的d去心邻域（d>0），记为U°(a,d)
  • 反函数
    • 变量不对调，记为x=f^-1 (y)
  • 复合函数
    • y=f(u)(uÎDo),u=j(x)(xÎD1)Þy=f[j(x)](xÎD1)
      • 练习题P6 T1;P7 T1.
  • 基本初等函数
    • 幂函数
      • y=x^a
        • (x^a)¢=ax^(a-1)
    • 指数函数
      • y=a^x
        • (a^x)¢=a^xlna(a>0,a¹1)，(e^x)¢=e^x
    • 对数函数
      • y=logaX，特别地，logeX=lnX
        • (logaX)¢=1/xlna，(lnx)¢=1/x
    • 三角函数
      • y=sinx
        • (sinx)¢=cosx
      • y=cosx
        • (cosx)¢=-sinx
      • y=tanx
        • (tanx)¢=sec²x
      • y=cotx=1/tanx
        • • (cotx)¢=-csc²x
      • y=secx=1/cosx
        • • (secx)¢=secxtanx
      • y=cscx=1/sinx
        • • (cscx)¢=-cscxcotx
    • 反三角函数
      • y=arcsinx
        • • （arcsinx)¢=1/Ö(1-x²)
      • y=arccosx
        • • (arcosx)¢=-1/Ö(1-x²)
      • y=arctanx
        • 子主题
          • (arctanx)¢=1/(1+x²)
      • y=arccotx
        • 子主题
          • (arccotx)¢=-1/(1+x²)
      • 重要算法
        • (1)sec²x=1+tan²x ,csc²x =1+cot²x ; (2)1-cosx=2sin²(x/2)，1+cosx=2cos²(x/2)，半角关式 (3)2sin xcosx=sin 2x，cos²x -sin²x=cos 2x ，倍角公式 (4)arcsin x+arccos x =π/2(-1≤x≤1), arctanx +arccot x=π/2(-∞<x <+∞).
  • 函数的初等性质
    • 有界性
      • y=f(x)(xÎD)在D上有界Ûy=f(x)在D上既有上界又有下界
    • 奇偶性
      • 偶函数，定义域关于y轴对称且f(x)=f(-x)
      • 奇函数，定义域关于点(0,0)对称且f(x)=-f(-x)
        • 奇函数的定义域必经过原点，且f(0)=0
      • 奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数÷奇函数=奇函数
    • 单调性
      • x1<x2，f(x1)-f(x2)大于或者小于0，判断f(x)单调递减，单调递增
    • 周期性
      • f(x+T)=f(x),T为一个周期
• 极限
  • 不定式极限计算
    • 0/0型
      • 表达式中出现u(x)^v(x)），一般化为e^v(x)ln(x)，利用e^v(x)ln(x)-1~v(x)ln(x)（式中带次数，含D-1）
        • 例如练习题P5 T1(1) limx®0[(1+2x)^sinx-1]/x²
      • 表达式中出现lnj(x)，一般化为ln[1+(j(x)-1)]，且使用ln[1+(j(x)-1)]~j(x)-1
        • 例如练习题P5 T1(2) limx®0[ln(e+sinx)-1]/x
      • 表达式中出现f(x)-1，一般变形后利用e^j(x)-1~j(x)，或者是[1+j(x)]^a-1~aj(x)
      • 洛必达法则
    • ¥/¥型
      • 洛必达法则，求导
      • 分子分母同除以一个项，再使用极限的四则运算法则
      • 两个结论：limx®+¥(lnx)^a/x^b=0(a>0,b>0)（幂函数比对数函数变化快）；limx®+¥x^a/b^x=0(a>0,b>0)（指数函数比幂函数变化快）
      • • 分子、分母都是多项式，“抓大头”，同除以x的最高次幂
          • 例如练习题P4 T7 limx®¥ln(3x^3+2x+2)/ln(2x^4+3x-1)
    • 1^¥型
      • 凑第二个重要极限形式(1+D)^1/D，利用(1+D)^1/D~e，其中D®0
        • 例如练习题P5 T2(1) limx®0(cosx-x^2)^[1/xln(1+x)]
    • ¥-¥型
      • 有分母，先通分
        • 例如练习题P4 T9 limx®0[1/(1-cosx)-2/x²]
      • 无分母，分子有理化、提取、分组（正常不为0的单独拎出来求，为0的一组单独求）
        • 例如练习题P5 T3(1) limx®¥Ö(x²+4x+1)-Ö(x²-2x+3）
    • ¥x0型
      • 化成0/0型或¥/¥型，即除以D（D®0/D®¥）
        • 例如教材P26 例14 limx®+¥(2x+1)(arctanx-p/2)
• 无穷大与无穷小
  • 无穷大
    • 概念
      • 若limx®xo 1/f(x)=0，则称f(x)当x®xo时，为无穷大
        • A/¥=0
    • 基本性质
      • 无穷大x无穷大=无穷大
      • 无穷大+无穷大不一定是无穷大
      • 有界函数x无穷大不一定是无穷大
      • 无界量x无界量不一定是无界量
  • 无穷小
    • 概念
      • 若limx®xo f(x)=0，则称f(x)当x®xo时，为无穷小
    • 无穷小的比较，设a(x)®0，b(x)®0(x®xo)
      • 若limx®xo b(x)/a(x)=0，则称b(x)为a(x)的高阶无穷小，记为b(x)=o(a(x))
        • b(x)和a(x)不是一个阶次，b(x)比a(x)快，阶次更高
      • 若limx®xo b(x)/a(x)=k¹0，则称b(x)为a(x)的同阶无穷小，记为b(x)=O(a(x))
        • 特别地，若limx®xob(x)/a(x)=1，则称a(x)与b(x)为等价无穷小（一种特殊的同阶无穷小）
    • 基本性质
      • 无穷小±无穷小=无穷小
      • 有界函数x无穷小=无穷小
        • 例如limx®0，x²sin1/x=0
      • 常数Ax无穷小=无穷小
        • A/¥=0, A/0=¥
• 连续与间断
  • 连续
    • 函数在一点连续
      • 概念
        • 若f(a-0)=f(a)，则f(x)在x=a处左连续；若f(a+0)=f(a)，则f(x)在x=a处右连续，连续是左、右均连续
        • 设函数f(x)在x=a的邻域内有定义，若limx®af(x)=f(a)或者f(a-0)=f(a+0)=f(a)，则称函数f(x)在x=a处连续
    • 函数在区间上连续
      • 概念
        • 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若函数f(x)在(a,b)内的每一点均连续，且f(a+0)=f(a)，f(b-0)=f(b)，则称f(x)在区间[a,b]上连续，记为f(x)ÎC[a,b]
      • 性质
        • 最大值与最小值定理
          • 设f(x)ÎC[a,b]，f(x)在[a,b]上取到最小值m、最大值M
        • 有界定理
          • 设f(x)ÎC[a,b]，则f(x)在[a,b]上有界，即存在Mo>0,对一切的xÎ[a,b]，有|f(x)|£Mo
        • 零点定理
          • 设f(x)ÎC[a,b]，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点cÎ(a,b)，使得f(c)=0
        • 介值定理
          • 设f(x)ÎC[a,b]，m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值、最大值，则对"hÎ[m,M]，至少存在一点xÎ[a,b]，使得f(x)=h
  • 间断
    • 概念
      • 设函数f(x)在x=xo的去心邻域上有定义，若limx®xof(x)¹f(xo)，则称函数f(x)在x=xo处间断（不连续），x=xo称为f(x)的间断点
    • 设f(x)在x=xo处间断，间断点分类
      • 第一类间断点-f(xo-0)，f(xo+0)存在
        • f(xo-0)=f(xo+0)-可去间断点
        • f(xo-0)¹f(xo+0)-跳跃间断点
      • 第二类间断点-f(xo-0)，f(xo+0)至少一个不存在