高等数学

考研高等数学全考点全题型考频统计（1987－2023)，汇总了极限、导数与微分、微分中值定理、积分、微分方程、多元函数微分学、二重积分的知识。

高等数学

• 极限
  • 题型一 函数极限计算
    • 带入、代换、拆分、求导
      • 1、0/0型
        • 等价无穷小
        • 洛必达
        • 泰勒公式
      • 2、∞/∞型
        • 抓大头
        • 洛必达
      • 3、0×∞型
        • 直接改为除法
        • 倒代换
      • 4、∞-∞型
        • 有分母则通分
        • 无分母则倒代换创造分母再通分
      • 5、 1^∞型
        • 幂指函数转化
      • 6、7、∞^0/0^0
        • 幂指函数转化
      • 8、变现积分函数
        • 想求导
      • 9、抽象函数
        • 凑导数定义
  • 题型二 数列极限计算
    • 等比数列极限
      • 分类讨论（1/2/1)
    • n项和的数列极限
      • 定积分定义（首选）(4/7/2)
      • 夹逼准则(1/1/0)
        • 1、调成相同的分母 2、分子不变
    • • 积分好求，计算
      • 积分难求，积分中值定理(1/4/1)
  • 题型三 已知极限求参数（12/17/11)
  • 题型四 无穷小阶数的比较（6/15/8）
  • 题型五 连续与间断
    • 连续(2/12/10)
      • 极限值等于函数值
    • 间断点(0/13/6)
      • 无定义点
        • 分母为零
        • tanx
      • 分段点
  • 题型六 渐近线(8/19/9)
  • 题型七 数列极限
    • 单调有界准则
      • 1、已知数列递推关系(4/3/1)
        • 先证有界（数学归纳法），后证单调
      • 2、其他的(1/4/0)
        • 先证明单调，后证有界
• 导数与微分
  • 题型一 导数的定义
    • 某点的可导性判断（11/12/12）
    • 导数的证明题（3/1/0）
  • 题型二 导数计算
    • 分段函数求导（2/6/4)
      • 分段点用导数定义，其他点用求导公式
    • 隐函数求导(4/14/4)
      • 等式两边同时对想x求导
    • 反函数求导(1/2/0)
    • 参数方程求导（7/18)
    • 变限积分函数求导(15/13/10)
    • 求n阶导(5/9/5)
      • n阶导公式与莱布尼茨公式
      • 泰勒公式
      • 求几阶找规律
  • 题型三 导数的几何应用
    • 切线，法线方程：点斜式（4/21/7)
    • 极值（极值点和驻点无关）(10/27/15)
      • 法一
      • 法二
    • 凹凸性与拐点(3/19/10)
      • 法一
      • 法二
    • 曲率(0/7)
      • 画图
  • 题型四(8/13/7)
    • 函数的零点
    • 方程的实根
    • 曲线的交点
    • 单调性与零点定理缺一不可
  • 题型五 证明函数不等式(14/21/16)
    • 情况1
      • 证明含一个常数的不等式，把该常数改为x
    • 情况2
      • 证明两个常数的不等式，把其中一个常数设为x
    • • 方法
        • 1、单调性:
          • 移项，设f（x）x属于D，求导看单调性
        • 2、拉格朗日中值定理：
          • 识别f和f'或
        • 3、积分中值定理：
          • 识别
        • 4、凹凸性：
          • 识别
        • 5、带拉格朗日余项的二阶泰勒公式
          • 识别题干里给f"（x）的不等式
• 微分中值定理
  • 题型一 证明含一个中值点的等式（7/13/12)
    • 步骤
      • 移项，构造辅助函数
      • 找两个相等的函数值，使用罗尔定理
      • • 线索及特殊方法
          • 套路1
          • 套路2
          • 套路3（不用罗尔,灵活）
  • 题型二 证明含一个中值点的不等式（1/2/1）
    • 步骤
      • 移项，构造辅助函数
      • 找到两个不想等的函数值，用拉格朗日中值定理
  • 题型三 证明含两个中值点的等式（1/3/1)
    • 步骤
      • 移项，构造辅助函数
      • 找到两组两个不想等的函数值
        • 用两次拉格朗日中值定理
        • 或用拉格朗日+柯西中值定理
• 积分
  • 题型一 积分计算（15/44/27）
    • 1、计算定积分先看积分区间
    • 2、有理函数分式的积分
    • 3、三角函数的积分
      • 奇次幂=偶次幂+1（凑微分）
      • 偶次幂
        • 二倍角公式
    • 4、带根号的积分
      • 令根号=t换元
      • 根号下带平方，三角换元
    • 5、单个函数的、两类函数相乘的、含变限积分函数的积分：部分积分
      • 三、指、幂、反、对
  • 题型二 比较积分大小（8/12/8）
    • 1、积分区间相同，被积函数不同，比较被积函数的大小
    • 2、被积函数相同，积分区间不同，看积分函数的正负
    • 3、都不相同，改成相同的积分区间
  • 题型三 积分的性质
  • 题型四 反常积分
    • 1、计算F(X)|a到b（5/12/5)
    • 2、判断敛散性（2/6/2)
      • a、考虑要不要拆
      • b、特殊的反常积分
      • c、比较判别法
  • 题型五 定积分的几何应用
    • 1、【a,b】上f（x）的平均值（3/3/0）
    • 2、面积（2/18/14）
    • 3、旋转体体积（1/19/11）、（1/4/3）
    • 4、弧长（2/10)
    • 5、旋转体测面积（0/4）
• 微分方程
  • 题型一 一阶微分方程
  • 题型二 二阶可降阶方程
  • 题型三 二阶常系数线性齐次/非齐次方程（17/22/7）
  • 题型四 n阶常系数齐次方程（2/5/0）
  • 题型五 解抽象的微分方程
    • 1、求通解和特解
    • 2、已知解反求微分方程：先求齐次部分P（x)，再求非齐次部分Q（x）
  • 题型六 微分方程的几何应用+物理应用（8+4/13+6/5)
    • 几何应用
      • 识别：题干求F（x）的表达式|曲线方程
      • 关键：列出等式
    • 物理应用
      • 1、路程与速度（1/7）
      • 2、变力做功（2/2)
      • 3、液体压力（0/2）
      • 4、引力（0/1）
      • 5、质心（4/2）
• 多元函数微分学
  • 题型一 连续、偏导数与可微的关系（5/2/3）
    • 选择题：最后看可微，举反例
      • 凑可微判别式：凑分子找f(0,0)——连续、极限，凑分母把已知挪一边
  • 题型二 偏导数计算
    • 解题技巧
  • 题型三 已知偏导数反求原函数（0/5/2）
  • 题型四 多元函数极值与最值
    • （8/8/7）
    • （7/5/4）
      • • 注意可以化简
        • 注意：如果条件极值的条件曲线被定义域截断，极值点还可能出现在定义域的端点处
    • （2/2/1）
• 二重积分
  • （同前） 比较积分大小（8/12/8）
    • 1、积分区间相同，被积函数不同，比较被积函数的大小
    • 2、被积函数相同，积分区间不同，看积分函数的正负
    • 3、都不相同，改成相同的积分区间
    • 积分值最大
      • 积分区域D取尽可能多的函数Z（x,y）>0部分在XOY平面上的投影时，积分取得最大值
  • 题型一 二重积分的计算（9/17/26）
    • • 快速检查：看看被奇函数正否
  • 题型二 分段函数的二重积分（1/3/5）
    • 根据被积函数的不同取值拆分区域
  • 题型三 交换积分次序（6/9/7）

高等数学

• 极限
  • 题型一 函数极限计算
    • 带入、代换、拆分、求导
      • 1、0/0型
        • 等价无穷小
        • 洛必达
        • 泰勒公式
      • 2、∞/∞型
        • 抓大头
        • 洛必达
      • 3、0×∞型
        • 直接改为除法
        • 倒代换
      • 4、∞-∞型
        • 有分母则通分
        • 无分母则倒代换创造分母再通分
      • 5、 1^∞型
        • 幂指函数转化
      • 6、7、∞^0/0^0
        • 幂指函数转化
      • 8、变现积分函数
        • 想求导
      • 9、抽象函数
        • 凑导数定义
  • 题型二 数列极限计算
    • 等比数列极限
      • 分类讨论（1/2/1)
    • n项和的数列极限
      • 定积分定义（首选）(4/7/2)
      • 夹逼准则(1/1/0)
        • 1、调成相同的分母 2、分子不变
    • • 积分好求，计算
      • 积分难求，积分中值定理(1/4/1)
  • 题型三 已知极限求参数（12/17/11)
  • 题型四 无穷小阶数的比较（6/15/8）
  • 题型五 连续与间断
    • 连续(2/12/10)
      • 极限值等于函数值
    • 间断点(0/13/6)
      • 无定义点
        • 分母为零
        • tanx
      • 分段点
  • 题型六 渐近线(8/19/9)
  • 题型七 数列极限
    • 单调有界准则
      • 1、已知数列递推关系(4/3/1)
        • 先证有界（数学归纳法），后证单调
      • 2、其他的(1/4/0)
        • 先证明单调，后证有界
• 导数与微分
  • 题型一 导数的定义
    • 某点的可导性判断（11/12/12）
    • 导数的证明题（3/1/0）
  • 题型二 导数计算
    • 分段函数求导（2/6/4)
      • 分段点用导数定义，其他点用求导公式
    • 隐函数求导(4/14/4)
      • 等式两边同时对想x求导
    • 反函数求导(1/2/0)
    • 参数方程求导（7/18)
    • 变限积分函数求导(15/13/10)
    • 求n阶导(5/9/5)
      • n阶导公式与莱布尼茨公式
      • 泰勒公式
      • 求几阶找规律
  • 题型三 导数的几何应用
    • 切线，法线方程：点斜式（4/21/7)
    • 极值（极值点和驻点无关）(10/27/15)
      • 法一
      • 法二
    • 凹凸性与拐点(3/19/10)
      • 法一
      • 法二
    • 曲率(0/7)
      • 画图
  • 题型四(8/13/7)
    • 函数的零点
    • 方程的实根
    • 曲线的交点
    • 单调性与零点定理缺一不可
  • 题型五 证明函数不等式(14/21/16)
    • 情况1
      • 证明含一个常数的不等式，把该常数改为x
    • 情况2
      • 证明两个常数的不等式，把其中一个常数设为x
    • • 方法
        • 1、单调性:
          • 移项，设f（x）x属于D，求导看单调性
        • 2、拉格朗日中值定理：
          • 识别f和f'或
        • 3、积分中值定理：
          • 识别
        • 4、凹凸性：
          • 识别
        • 5、带拉格朗日余项的二阶泰勒公式
          • 识别题干里给f"（x）的不等式
• 微分中值定理
  • 题型一 证明含一个中值点的等式（7/13/12)
    • 步骤
      • 移项，构造辅助函数
      • 找两个相等的函数值，使用罗尔定理
      • • 线索及特殊方法
          • 套路1
          • 套路2
          • 套路3（不用罗尔,灵活）
  • 题型二 证明含一个中值点的不等式（1/2/1）
    • 步骤
      • 移项，构造辅助函数
      • 找到两个不想等的函数值，用拉格朗日中值定理
  • 题型三 证明含两个中值点的等式（1/3/1)
    • 步骤
      • 移项，构造辅助函数
      • 找到两组两个不想等的函数值
        • 用两次拉格朗日中值定理
        • 或用拉格朗日+柯西中值定理
• 积分
  • 题型一 积分计算（15/44/27）
    • 1、计算定积分先看积分区间
    • 2、有理函数分式的积分
    • 3、三角函数的积分
      • 奇次幂=偶次幂+1（凑微分）
      • 偶次幂
        • 二倍角公式
    • 4、带根号的积分
      • 令根号=t换元
      • 根号下带平方，三角换元
    • 5、单个函数的、两类函数相乘的、含变限积分函数的积分：部分积分
      • 三、指、幂、反、对
  • 题型二 比较积分大小（8/12/8）
    • 1、积分区间相同，被积函数不同，比较被积函数的大小
    • 2、被积函数相同，积分区间不同，看积分函数的正负
    • 3、都不相同，改成相同的积分区间
  • 题型三 积分的性质
  • 题型四 反常积分
    • 1、计算F(X)|a到b（5/12/5)
    • 2、判断敛散性（2/6/2)
      • a、考虑要不要拆
      • b、特殊的反常积分
      • c、比较判别法
  • 题型五 定积分的几何应用
    • 1、【a,b】上f（x）的平均值（3/3/0）
    • 2、面积（2/18/14）
    • 3、旋转体体积（1/19/11）、（1/4/3）
    • 4、弧长（2/10)
    • 5、旋转体测面积（0/4）
• 微分方程
  • 题型一 一阶微分方程
  • 题型二 二阶可降阶方程
  • 题型三 二阶常系数线性齐次/非齐次方程（17/22/7）
  • 题型四 n阶常系数齐次方程（2/5/0）
  • 题型五 解抽象的微分方程
    • 1、求通解和特解
    • 2、已知解反求微分方程：先求齐次部分P（x)，再求非齐次部分Q（x）
  • 题型六 微分方程的几何应用+物理应用（8+4/13+6/5)
    • 几何应用
      • 识别：题干求F（x）的表达式|曲线方程
      • 关键：列出等式
    • 物理应用
      • 1、路程与速度（1/7）
      • 2、变力做功（2/2)
      • 3、液体压力（0/2）
      • 4、引力（0/1）
      • 5、质心（4/2）
• 多元函数微分学
  • 题型一 连续、偏导数与可微的关系（5/2/3）
    • 选择题：最后看可微，举反例
      • 凑可微判别式：凑分子找f(0,0)——连续、极限，凑分母把已知挪一边
  • 题型二 偏导数计算
    • 解题技巧
  • 题型三 已知偏导数反求原函数（0/5/2）
  • 题型四 多元函数极值与最值
    • （8/8/7）
    • （7/5/4）
      • • 注意可以化简
        • 注意：如果条件极值的条件曲线被定义域截断，极值点还可能出现在定义域的端点处
    • （2/2/1）
• 二重积分
  • （同前） 比较积分大小（8/12/8）
    • 1、积分区间相同，被积函数不同，比较被积函数的大小
    • 2、被积函数相同，积分区间不同，看积分函数的正负
    • 3、都不相同，改成相同的积分区间
    • 积分值最大
      • 积分区域D取尽可能多的函数Z（x,y）>0部分在XOY平面上的投影时，积分取得最大值
  • 题型一 二重积分的计算（9/17/26）
    • • 快速检查：看看被奇函数正否
  • 题型二 分段函数的二重积分（1/3/5）
    • 根据被积函数的不同取值拆分区域
  • 题型三 交换积分次序（6/9/7）