考研定积分

再不看看这份思维导图就晚了！考研数学是一门很重要的学科，也是特别难的学科，有很多学生因为上大学时数学基础不好，就在考研时选择不会考数学的专业，现在有了这份思维导图就不用再担心啦！跟着这份思维导图轻松学会定积分的知识！祝你考研轻松上岸！

定积分

• 定积分的概念
  • 定积分的定义
    • 概念理解。（1）定积分是一个数，仅与f(x)及【a，b】有关，与用什么字母表示无关。（2）积分上下限一样，则积分为0，上限与下限交换，结果变为相反数
    • 利用定义求极限：一般，n项和数列满足：每项可提取1/n或（b-a）/n，其余各项能表示为f[i/n]或f[a+i/n(b-a)]可考虑用定积分定义来此极限
  • 在闭区间上可积的条件
    • 在闭区间可积的必要条件是有界 在闭区间可积的充分条件是连续
  • 定积分的几何意义
  • 定积分的性质
    • 线性性质
      • 两积分上下限相反，可加减，积分与常数相乘可提到内外
    • 区间可加性
      • • 不论a，b，c的相对位置如何
    • 比较性质
    • 估值定理
    • 积分中值定理
      • 若f(x)在【a，b】上连续，则存在c属于【a，b】使得上限为a下限为b的定积分=f(c)(b-a)
    • 积分中值定理评注
      • （1）f(x)在[a，b]上的平均值，即“平均高度”为1/(b-a)f(x)上a下b的积分（2）该定理可直接利用闭区间积分估值定理，不等式三方同时除以（b-a），再利用闭区间连续函数的介值定理可得结论（3）该定理的主要用途是对某些不易积分的函数去掉积分符号
• 变上限积分
  • 定义
    • 积分上限为自变量x的定积分称为可积函数在【a，b】上的变上限积分
  • 性质
    • 函数在【a，b】上可积，则变上限定积分在定义域上连续，但未必可导
    • 若f(x)在【a，b】上连续，则变上限积分函数在【a，b】上具有导数，且其导数为f(x)
    • 连续函数必存在原函数，若函数f(x)在【a，b】上连续，则其变上限定积分函数是f(x)在【a，b】上的一个原函数。
  • 变限积分函数的性质与求导
    • 被积函数中若含有求导变量，一定要将求导变量换到积分限上，或移到积分号外
• 定积分的计算
  • 牛顿莱布尼茨公式
  • 定积分的换元法
    • 用换元积分法计算定积分时必须要根据所作的变量代换进行“三变”-----即积分限要变，积分限强调上下限的对应，不强调大小；被积函数要变；积分变量也要变
    • 定积分本身是一个数，故定积分的变量代换求出原函数后不必还原
  • 定积分的分部积分法
  • 几个重要的常用公式
    • 奇偶函数的积分性质
      • 子主题
    • 周期函数的积分性质
      • 子主题
      • 遇见周期函数的定积分，就要想到考察积分区间是否为周期的整数倍
    • 华里士公式
      • 子主题
    • 区间再现的思想
      • 子主题
    • 计算分段函数定积分
      • 第一步：利用积分区间内的分段点将积分区间划分 第二步：利用定积分的区间可加性把定积分表示成几个分段区间上的定积分的和并求出结果
• 反常积分
  • 无穷区间上的反常积分
    • 定义
    • 计算
  • 无界函数的反常积分
    • 定义
    • 计算
  • 无穷区间反常积分敛散性的判定
• 定积分的应用
  • 直角坐标系下平面图形的面积
  • 极坐标系下平面图形的面积
  • 参数方程形式表示的曲线所围城的面积
  • 平行截面面积已知的立体体积
  • 旋转体的体积