古代数学

古希腊 埃及 巴比伦 印度 国外数学史非中国

古代数学史

• 1. 古希腊
  • 泰勒斯
    • 最早的希腊数学家
    • 爱奥尼亚学派——希腊命题证明之先河
    • 圆的直径将圆分为两个相等的部分
    • 等腰三角形两底角相等
    • 两相交直线形成的对顶角相等
    • 若一三角形有两角，一边分别与另一三角形的对应角、边相等,那么两三角形全等
    • 半圆周上的圆周角是直角
  • 毕达哥拉斯
    • 勾股定理
    • 正多面体作图
    • 用数学理解自然现象
      • 万物皆数，认为数1（原因数）生成万物
      • 解释天体运动
      • 发现音乐定律
    • 信奉数10，看成完美和谐的
    • 对数分类成奇数，偶数，奇-奇数，偶-奇数
    • 完全数，过剩数和不足数:其因数之和等于大于或小于该数本身
    • 亲和数：若两个整数a是b的因数之和而b又是a的因数之和
    • 任何量都可以表示成两个整数之比
  • 雅典时期
    • 学派林立
      • 伊利亚学派-芝诺四个著名悖论
        • 两分法
        • 阿基里斯
        • 飞箭
        • 运动场
      • 诡辩学派
      • 柏拉图学派：几何定义
      • 亚里士多德学派：公理、公设，将数学推理规律规范化系统化——创立逻辑学
    • 三大几何问题
      • 化圆为方,作一个与给定的圆面积相等的正方形
      • 倍立方体,求作一立方体,使其体积等于已知立方体的两 倍
      • 三等分角,分任意角为三等分
    • 无限性概念的早期探索
      • 原子学派
      • 芝诺
  • 欧几里得
    • 《原本》——构成了历史上第一个数学公理体系
      • 5条公设
        • 假定从任意一点到任意一点可作一直线
        • 一条有限直线可不断延长
        • 以任意中心和直径可以画圆
        • 凡直角都彼此相等
        • 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交
      • 5条公理
        • 等于同量的量彼此相等
        • 等量加等量,和相等
        • 等量减等量,差相等
        • 彼此重合的图形是全等的
        • 整体大于部分
    • 如果两个三角形的高相同,则它们的面积之比等于两底之比
    • 圆与圆之比等于其直径平方之比
  • 阿基米德
    • 著述极为丰富，内容涉及数学、力学及天文学等
    • 穷竭法
      • 应用于圆的周长和面积公式
      • 证明了与球的面积体积有关的公式
    • 平衡法：将需要求积的量(面积、体积等)分成许多微小单元,再用另一组比较容易计算微小单元来进行比较
    • 应用数学家
  • 阿波罗尼斯
    • 圆锥曲线理论
  • 亚历山大后期
    • 海伦：代表作《量度》，主要讨论各种几何图形的面积和体积的计算，并以他的名字命名的三角形面积公式
    • 三角学的建立——托勒玫：托勒玫定理，角的度量
    • 使算术和代数成为独立的学科——尼可马科斯
    • 到公元640年,亚历山大学术宝库中残余的书籍被阿拉伯征服者最终付之一炬. 希腊古代数学至此落下帷幕
• 2. 古埃及
  • 纸草书
    • 阿赫摩斯纸草卷——记录了58个关于古埃及数学的问题
  • 记数制
    • 十进位制
  • 算术与代数
    • 创建了完整的运算法则，加法、减法、倍乘、分数算法
    • 一元一次方程和一元二次方程
  • 几何学
    • 将几何学运用到丈量土地和建筑设计，如金字塔
• 3. 古阿拉伯
  • “阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学,而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学
    • 支持按照思维导图主题的逻辑顺序自动生成幻灯片
      • 子主题
  • 代数
    • 花拉子米
      • 对欧洲数学影响最大的中世纪阿拉伯数学家
      • 《代数学》：用代数方式处理了线性方程组与二次方程,第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明,同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等，为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路
      • 《印度计算法》：系统介绍了印度数码和十进制记数法,以及相应的计算方法
    • 奥马.海亚姆
      • 用曲线方法解三次方程
  • 三角学
    • 阿拉伯天文学家都致力于高精度三角函数
      • 艾布·瓦法
        • 证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式等价的关于弦的一些定理，证明了平面和球面三角形的正弦定理
      • 比鲁尼
        • 给出测量地球半径的方法
        • 证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式
    • 阿尔·巴塔尼
      • 中世纪对欧洲影响最大的天文学家
      • 利用这些公式计算了sin1° 的值
      • 创立了系统的三角学术语,如正弦余弦、正切、余切
      • 发现了一些等价于的三角函数关系式,以及球面三角形的余弦定理
    • 纳西尔·丁
      • 《伊儿汗天文表》：是历法史上的重要著作,测算出岁差51"/每年
      • 《论完全四边形》：一部脱离天文学的系统的三角学专著，系统阐述了平面三角学,明确给出正弦定理，讨论球面完全四边形,对球面三角形进行分类,指出球面直角三角形的6种边角
  • 几何学
    • 对希腊几何的翻译与保存,并传给了欧洲
    • 阿拉伯人关于第五公设证明的尝试,诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣,对非欧几何的诞生有一定的影响
• 4. 古印度
  • 古代《绳法经》
    • 有几何内容和建筑中的代数计算问题.如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，使用了圆周率的以下近似值:3.0883
    • 由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，并用算术方法给出了求解公式
  • “巴克沙利手稿”与零号
    • 数学内容十分丰富,涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等,其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程，使用了一些数学符号，如减号加号
    • 出现了完整的十进制数码,其中用点表示0
    • 印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后通过阿拉伯人传至欧洲
  • “悉檀多”时期
    • 阿耶波多
      • 建立了丟番图方程求解的所谓“库塔卡"方法
      • 采用辗转相除法的演算程序
    • 婆罗摩笈多
      • 明确把0作为一个数来处理
      • 给出佩尔方程的特殊解法,命名为“瓦格布拉蒂”
      • 利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表
    • 马哈维拉
      • 《计算方法纲要》
    • 婆什迦罗
      • 印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家
      • 两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》,天文著作有《天球》和《天文系统之冠》
      • 《莉拉沃蒂》：算学中的名词术语，整数、分数的运算，计算法则和技巧，利率等方面的应用题，数列计算问题，平面图形的度量计算，立体几何的度量计算，测量问题，代数问题，组合问题
      • 《算法本源》：主要是算术和代数著作，包括有零的运算法则的完整论述,特别是,认为分母为零的分数表示一个无穷大量
      • 能熟练地使用和差与半角等三角公式,在解二次方程中能认识并使用无理数
• 5. 古巴比伦
  • • 采用六十进位位值制记数法
      • JPEG、PNG、GIF、BMP
      • Tiff
    • 制成有关倒数、乘法、平方、立方、平方根表和立方根表
    • 运用一次、二次(甚至有三次、四次)数字方程公式解决一些应用问题
      • Word
      • PPT
      • Excel
    • 商业发展所产生的高利贷，引出了复利问题的计算
    • 计算简单的直边形面积和简单立体的体积，且可能知道勾股定理
    • 天文学的发展关于角的度量和某些三角学的萌芽
    • 后期的楔形文献中，已出现了零的萌芽
• 希腊数学衰落
• 黄金时代——亚历山大
• 论证数学的开端