高数张宇18讲——5.一元函数微分学的应用(一)——几何应用

18讲的内容其实是30讲的加强版，我是在原30讲上又加入了18讲的知识点补充和题型补充

一元函数微分学的几何应用

• 极值点
  • 极值点并不一定是最值点，最值点也不一定是极值点
  • 极值点和间断点都是在邻域内下的定义，因此二者具有双侧定义
    • 端点处无极值
  • 间断点可以是极值点
• 单调性与极值的判别
  • 单调性判定
  • 判极值的第一充分条件
  • 判极值的第二充分条件
  • 判极值的第三充分条件
  • 判极值的必要条件
• 相关变化率
  • • f'(x)通常已知
• 曲率及曲率半径
  • 曲率
  • 曲率半径
  • 曲率圆中心坐标
    • 曲率圆与原曲线的y、y'、y''的值相同
• 渐近线
  • • f(x)必须和x是同阶才会有斜渐近线
    • 截距b必须存在，不能是无穷或震荡
    • 先找函数的无定义点
• 凹凸性与拐点的判别
  • 凹凸性判定
  • 判拐点的第一充分条件
  • 判拐点的第二充分条件
  • 判拐点的第三充分条件
  • 判拐点的必要条件
• 拐点
  • f(x)连续即可,在拐点处无需可导
• 最值或取值范围
  • ①求出f(x)在(a,b)内的可疑点——驻点
  • ③比较以上所求得的所有函数值
• 作函数图形
  • ①确定函数f(x)的定义域,并考查它是否有奇偶对称性;
  • ②求出f'(x)，f"(x) ，用f(x)的无定义点，f'(x)=0的点，f'(x)不存在的点，f"(x)=0的点,f"(x)不存在的点，将定义域划分为若干子区间，确定函数图形在各个子区间上的单调性与凹凸性,进而确定函数的极值点和拐点;
  • ③确定渐近线(如果有的话);
  • ④作出函数图形.