1、函数、极限、连续

考研数学知识点整理--函数、极限、连续，（1+x）的1/x次方展开：e（1-1/2+11/24）；间断点分母为零，则分子一定为零（分子抢救法：反之分母为零，不一定是间断点）。

函数、极限、连续

• 易混淆
  • 无穷大与无界函数的区别
    • 无穷大具有“保号性”的特征
    • 无界不要求处处无穷大，有一点就行
  • 函数极限存在：只与邻域有关（连续则需要保证极限等于函数值），趋向零的自变量（可能是函数）不能等于零
  • 不等式：＞→极限：加等号≥（等式代帽法）
  • 点推领域函数性态，需要高一阶导数连续，保证该点的连续性，从而推领域的性态
  • 洛必达使用条件（针对抽象函数）：1、0/0，无穷/无穷；2、去心领域可导，分母不为零；3、洛后极限为有限实数，0或无穷大（不能振荡不存在）【x可以趋于无穷】
  • 达布定理：导函数不连续，只可能是振荡间断点，导函数极限存在，一定连续
• 题型
  • 函数极限
    • 1、泰勒展开，注意不要漏项（不便详细展开，可考虑奇偶性），倒代换可用于趋无穷的极限
    • 2、拉格朗日中值定理+夹逼准则or等价无穷小等
    • 3、F/x型or求中值极限，构造导数的定义：导数本身也是一个极限，适用于题干提供导数信息
    • 4、已知一个极限求另一个极限：凑已知极限+分离
    • 5、定积分定义
      • 一元取点：前点i/n；中间(2i+1)/2n；任意点：【i/n+比例(i+1)/n】/（1+比例）；注：比例=1就是中点
      • 二元：同一元一样，矩形区域积分，相互独立
    • 6、三角函数极限
      • 特点：1、自变量趋于无穷（包含无穷个周期）2、三角函数趋于零
      • 方法（利用周期性）：自变量减去nπ，做恒等变形（自变量出现差）+分子有理化（自变量趋于零）
    • 注：局部优先求极限需要慎重
  • 渐近线
    • 顺序：垂直→水平→斜（水平＋斜至多=2，同侧只可取其一）
    • 技巧：倒代换后泰勒逼近（出现1/x）：写成y=ax+b+无穷小量【有根号暴力开根号】
    • 隐函数（难题）：1,x→无穷，分析y（水平）；2、y→无穷，分析x（垂直）；3、构造y/x，x→无穷，y/x=k？（斜）
  • 数列极限（数列收敛）（通项：无穷项求和）
    • 1、变化的量级＜不变的量级：放缩法+夹逼准则（伪夹逼：两侧数列差极限为0，条件不足，若其中一侧极限为0，则夹逼至0）
    • 2、变化量级=不变的量级：定积分定义（可能衍生到二元函数）
    • 3、存在以上用不了：无穷级数和函数
    • 注：可能分子放缩、分母定积分定义，兼容1,2
  • 数列极限（数列收敛）（通项：递推关系式）
    • 单调有界法则
      • 单调
        • 1、数学归纳法：①、前几项满足，②、假定第n项满足，③、推出第n+1项满足
        • 2、比值\差值法
        • 结论：a（n+1）=f（n），若f的导数≥0，数列单调性由前两项决定
        • 难度题
      • 有界
        • 1、数学归纳法：假设a小于先验极限值
        • 2、利用不等式（需要积累）
        • 3、单调性+长度1区间积分与函数值关系
      • 注：可以通过先假设存在求出极限，以便构造数列
      • 难题：间接单调性，奇项、偶项分别讨论单调有界性，收敛于同一值
    • 不单调
      • 1、恒等变形构造等差/等比数列→求和公式
      • 2、差分法：a(n)=（2到n求和）:【a（k）-a（k-1）】+a（1）;【注：出现b（n）=a（k）-a（k-1）时用，相邻项offset】
    • 定义法：①求先验极限A；②构造|x（n+1）-A|=小于1的数|x(n)-A|，③递推求极限
• 知识点
  • （1+x）的1/x次方展开：e（1-1/2+11/24）
  • 间断点分母为零，则分子一定为零（分子抢救法：反之分母为零，不一定是间断点）