2、一元函数微分学及其应用

一元函数微分学及其应用的思维导图，如 二阶导数大于零→弦切不等式（可用泰勒展开证明）；(x-a)奇次方【3以上】的零点是拐点，也是驻点（非极值点）；极值点：前奇数阶导数=0，再加一阶≠0；拐点：前偶数阶导数=0，再加一阶≠0。... ...

一元函数微分学及其应用

• 易混淆
  • 导数的介值定理：不需要连续，导数不含有第一类间断点（可能有振荡间断点）
  • ①导函数f'(x)不存在第一类间断点（若f(x)在定义域上处处可导，可用拉格朗日中值定理证明，导数极限存在→点导数等于该极限（单向），②反之不行，点导数存在不能确定导数极限存在，可能存在震荡点【即点的导数存在，但是导函数不连续】）
  • 有绝对值的零点不可导，若还有奇数个不带绝对值，则可以修正为可导
  • 单增函数不要求导数恒大于零，x三次方在0点导数等于0
  • 极值点可能去在振荡的间断点的波峰，故也不能用于证明，左右邻域的单调性
• 题型
  • 零点问题
    • 数量问题
      • 至多：①罗尔推论：k阶导数≠0【n个】，至多k【n+k】个；②单调性（1个）；③凹凸性（2个）
      • 至少：介值定理
    • 证明问题
      • 罗尔：构造辅助函数，使两点函数值相等，导数存在零点 ；技巧：①分离常数，使k=常数，恒等变形观察；②凑F（a）=F(b)【证明部分含有导数，找出原函数，可以证明拉中、柯西中】
      • 费马：证明存在可导的极值点【可以证明罗尔】
  • 中值定理证明
    • 1、只有一个中间点：一次拉式中值定理【一般出现一阶导数】
    • 2、两个中间点在一个区间
      • 分离后有外部具体函数：柯西（一个具体一个抽象，例如出现2η，可以考虑x²）
      • 分离后无具体函数：拉中
    • 3、两个中间点在两个区间：两次拉中
    • 4、泰勒中值定理
      • 1、展开点
        • 保留函数值：消除一阶导数
          • 中点展开+端点分别代入+相加消去一阶导
          • 极值点（可以代表区间内函数值）展开，一阶导数为零消去
        • 保留一阶导数值：消除函数
          • 最值点（可以代表区间内函数值）展开，端点带入，作差消除函数值
        • 动点展开【极值问题】
      • 2、展开阶次：余项阶次为准
      • 3、带入函数值
    • 5、分部积分法+缩放
      • 连续函数构造变上限积分（注意1、下限取值 2、x-a的值使代入值为零）
      • 可推广至二元函数
• 知识点
  • 二阶导数大于零→弦切不等式（可用泰勒展开证明）
  • 高阶导数
    • 基本：递推公式法，莱布尼茨公式【一般其中一部分高次求导后一直=0】
    • 点的导数：泰勒展开【原点偶函数的奇次导=0，原点奇函数的偶次导数=0】
  • (x-a)奇次方【3以上】的零点是拐点，也是驻点（非极值点）
  • 极值点：前奇数阶导数=0，再加一阶≠0；拐点：前偶数阶导数=0，再加一阶≠0
  • 零点模型
    • 1、lnx-ax类型，需要讨论a的值
    • 2、罗尔定理+辅助函数
    • 3、拉格朗日中值定理【同函数相减】
    • 4、费马引理：区间内的极值点的导数（前提可导）为零，【注：极值点为导数为零或不可导点】