张宇30讲——线代第六讲.二次型

与张宇30讲的大纲一致，课上所讲的笔记也有所标注，十分全面，十分详细

二次型

• 二次型的定义与矩阵表示
• 化二次型为标准形与规范形
  • 合同
    • 定义
    • 性质
    • 充要条件
      • • 或有相同的秩及 正(或负)惯性指数.
    • 
  • 标准型与规范型
    • 定义
    • 二次型均能化为标准型：因为任意实对称矩阵都能与对角矩阵正交合同
    • 方法
      • 配方法
        • 有平方项：将某个变量的平方项与其混合项一次配成一个完全平方， 如法炮制，直至将所有变量全部配成完全平方
          • n元要n换 缺项要补项
        • 没有平方项：作可逆线性变换
      • 正交变换法
  • 惯性定理
    • 无论选取什么样的可逆线性变换,将二次型化成标准形或规范形,其正项个数p, 负项个数q都是不变的,p称为正惯性指数,q称为负惯性指数.
      • (1)若二次型的秩为 r,则r=p+q,可逆线性变换不改变正、负惯性指数
• 正定二次型
  • 定义
  • 充要条件
    • • • 系数全为正
  • 必要条件
  • 判定
    • 具体型二次型
    • 抽象型二次型