行列式

线代思路，配套2021线性代数辅导讲义

行列式

• 概念
  • 行列式
    • 不同行、不同列元素的乘积（是数字！）
  • 余子式 Mi,j
    • 去掉 i 行 j 列剩下的 n-1 阶行列式
  • 代数余子式Ai,j
    • （-1）^(i+j)Mi,j 与ai,j无关
  • 逆序数
• 性质
  • 行（列）的公因数可提到行列式外
    • 一行的公因数直接提，整个行列式的公因数提出来要加次方
    • 注意与矩阵运算区分 |kA|=(k^n)*|A|
  • 行（列）为0，行列式值为0
  • 行（列）互换，行列式变号
    • 经常忘记！
  • 两行（列）相等或成比例，行列式值为0
  • 某行是和，可写成两个行列式的和
    • 经常要用
      • 但是|A+B|≠|A|+|B|
  • 行（列）的 k 倍加到另一行（列），行列式值不变
• 公式
  • 展开式
    • |A|=ai,1Ai,1+……+ai,nAi,n 按行展开（按列同理）
    • ai,1Ak,1+……+ai,nAk,n=0（i≠k）
      • 经常证明题用
  • |上三角/下三角|=主对角线乘积
  • |上三角/下三角|=(-1)^(n(n-1)/2)*对角线乘积
    • 老记错！
  • 拉普拉斯展开式
    • |上三角/下三角的分块矩阵|=两个主对角块行列式的乘积
    • |上三角/下三角的分块矩阵|=((-1)^(m*n))*两个副对角块行列式的乘积（m,n是两个对角块的阶）
      • 老忘记
  • 范德蒙行列式
    • 第一行全1，第二行1次，第三行是第二行的2次……,值为所有（大下标-小下标）的乘积
  • 重要公式
    • |A的转置|=|A|
    • |kA|=(k^n)*|A|
    • |AB|=|A||B|
    • |A*|=|A|^(n-1)
      • AA*=A*A=|A|E
    • |A^(-1)|=1/|A|
    • |A|=特征值乘积
    • 若A,B相似，则|A|=|B|=特征值乘积
• 克拉默法则
  • 非齐次线性方程组AX=B
    • |A|≠0
      • 有唯一解：xi=Di/D，D为|A|，Di=把D的第i列换成B
  • 推论
    • 齐次线性方程组只有0解<=>D≠0
    • 齐次线性方程组有非0解<=>D=0
• 题型
  • 计算
    • 数字型
      • 三角化
      • 递推
      • 数学归纳
        • 1.n=1时，结论正确 2.假设n=k时结论正确 3. 证明n=k+1时结论正确
        • 1.n=1,n=2时结论正确 2. 假设n<k时结论正确 3. 证明n=k时结论正确
      • 公式
    • 抽象型
      • 用行列式性质
      • 用矩阵性质
      • 用特征值
      • 用相似
    • 计算技巧
      • 按行（列）展开——0多的情况
      • 某行（列）的k倍加到另一行（列）上——三角化或者尽量让0多
      • 每行（列）都加到第一行（列）
      • 逐行（列）相加
    • 常见类型
      • 爪型，”三斜杠型“
        • 三角化
  • 证明|A|=0
    • AX=0有非0解
    • 反证法
    • r(A)<n
    • 0是特征值
    • |A|=-|A|
• 矩阵的秩的问题
  • r(A)=r<=>A有r阶子式不为0，所有r+1阶子式均为0
  • r(A)<r<=>A所有r阶子式为0
  • r(A)≥r<=>A有r阶子式不为0
  • r(A)=0<=>A=O
  • r(A)≥1<=>A≠O