函数

高等数学，考研，参考武忠祥2021高数辅导讲义

函数

• 概念
  • y=f(x)，x∈D，y∈Rf=f(D)
  • 两个要素
    • 定义域和对应法则（依赖关系）
  • 复合函数
    • y=f(u)，u∈Df，u=g(x)，x∈Dg
  • 反函数
    • 对所有y属于R，有唯一x∈D对应
  • 基本初等函数
    • y=x^a, y=a^x(a>0,a≠1)，y=logax(a>0,a≠1)
    • sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx,arcsinx,arccosx,arctanx
    • 注意定义域、性质和图形
  • 初等函数
    • 常数与基本初等函数的有限次加，减，乘，除，复合，能用一个解析式表示
• 性态
  • 单调性
    • 定义
      • 单调增
        • x1<x2=>f(x1)<f(x2)
      • 单调不减
        • x1<x2=>f(x1)<=f(x2)
    • 判定
      • 用定义——简单函数
      • 用导数
        • f'(x)>0=>f(x)单调增，反之不成立（y=x^3，导数可以=0）
        • f'(x)≥0<=>f(x)单调不减
          • 注意等号，经常考
        • f(x)增<≠>f'(x)增
    • 应用
      • 根的个数
      • 不等式证明
        • f(a)=0,f增=>f(x)>0,x∈(a,b]
        • f(a)=0,f不减=>f(x)>=0,x∈(a,b]
          • 注意等号
  • 奇偶性
    • 定义
      • 奇函数：f(-x)=-f(x)
      • 偶函数：f(-x)=f(x)
      • 奇，偶函数的定义域必定关于原点对称
        • 选择题用来排除选项
    • 常见函数
      • 奇函数
        • sinx, tanx, arcsinx, arctanx,  ,(e^x-1)/(e^x+1) , ,f(x)-f(-x)
      • 偶函数
        • x², |x|, cosx, f(x)+f(-x)
    • 几何特性
      • 奇函数
        • 图形关于原点对称，若x=0有定义，f(0)=0
      • 偶函数
        • 图形关于y轴对称
    • 判定
      • 用定义
      • f(x)奇+f可导=>f'(x)偶 f(x)偶+f可导=>f'(x)奇
        • 注意可导的要求
      • 连续奇函数的原函数是偶函数 连续偶函数的原函数之一是奇函数
  • 周期性
    • 定义
      • f(x+T)=f(x)
    • 常见函数
      • sinx,cosx——2π sin2x,sin|x|——π
      • f(x)的周期为T，则f(ax+b)的周期为T/|a|
    • 判定
      • 用定义
      • f(x)周期且可导=>f'(x)周期，反之不成立（f'=sinx+1，f=-cosx+x）
      • f(x)连续且周期为T，则F(x)= 周期为T<=>f(x)在 0~T上积分为0
  • 有界性
    • 定义
      • 若存在M>0，对所有x∈I有，|f(x)|≤M，则f(x)在I上有界
    • 常见函数
      • |sinx|≤1, |cosx|≤1
      • |arcsinx|≤π/2， |arctanx|≤π/2
      • |arccosx|≤π
        • 注意和arcsinx不同
    • 判定
      • 用定义
      • f(x)在[a,b]连续=>f(x)在[a,b]有界
      • f(x)在(a,b)连续，f在a的右极限，b的左极限存在=>f(x)在[a,b]有界(a,b可以是∞)
      • f'(x)在有限区间I有界=>f(x)在I有界，反之不成立（ 在（0,1)有界，其导数在（0,1）无界
• 题型
  • 复合函数
  • 函数性态
    • 经典问题
      • f(x)连续且f'(0)>0
• f(x)在(0,δ)单调增加
  • 在点单调增≠>在区间单调增
• 存在δ>0，对任意x∈(0,δ)，有f(x)>f(0)， 对任意x∈(0,δ),有f(x)<f(0)
• 连续奇函数的变上限积分是偶函数 连续偶函数的变上限积分是奇函数
• Df∩Rg≠∅