导图社区 考研线性代数
适用于考研线性代数的学习，对相关考点进行了整理并总结了相关题型，包含行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值、特性向量、二次型的考点知识。
1956年，达特茅斯会议 – 定义“人工智能”学科，形成学科研究范畴，和主要研究流派。本图适用于人工智能导论期末考试复习~
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线性代数
第一章 行列式
针对方的
概念
行列式是一个数，它是不同行不同列元素乘积的代数和
n阶行列式的表示形式
逆序数
如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成个一个逆序
一个排列的逆序总数称为逆序数
一个排列的逆序数为偶数，则称这个排列为偶排列；反之，为奇排列
性质
两行(列)完全相同，行列式为0
区别于矩阵的提取公因子，矩阵是全体都有才可提
两行(列)对应元素成比例，行列式为0
某行(列)为0，行列式为0
按行(列)展开公式
余子式
代数余子式
定理
展开公式
克拉默法则
求线性方程组的解
eg
计算性质
数字型
证明
抽象型
行列式性质
矩阵性质
特征值
计算公式
证明|A|=0的方法
Ax=0有非零解
反证法
r(A)<n
0是A的特征值
|A|=-|A|
应用
伴随矩阵的求逆法
线性相关/无关的判定
可逆的证明
特征值计算
二次型正定判定
一些常用的计算处理
爪形处理
对角线两侧元素是对称的
一般方法是消去一行/一列，再提取公因子，利用1化简其他行/列，最后利用展开公式或/对角线法则
所以行(列)相加起来值相等的处理
将某一行(列)化简为只有一个元素，按行(列)展开计算
分块进行运算
利用性质4一个行列式拆成若干行列式计算
但要仔细不要漏
第二章 矩阵
矩阵表现形式
零矩阵
同型矩阵
两个矩阵的行和列都相等
相等矩阵
两个矩阵的行和列都相等，且对应元素也相等，记为A=B
n阶方阵
矩阵的行列式
方阵的行列式
设A是n阶矩阵
公式
补充
转置矩阵
将原矩阵的行列互换
可逆矩阵
矩阵的多项式
与行列式区别
行列式一定是方的，矩阵不一定
行列式是值，矩阵是一堆元素构成的表格
A=O和|A|=0之间无必然联系
运算
矩阵的和
同型矩阵可以相加，相加结果是对应元素相加后的一个同行同列矩阵
运算法则跟代数的一样
矩阵数乘
矩阵乘于数k，则所有元素同乘于k
与行列式作区分
矩阵乘积
定义
任何矩阵乘以对应的单位矩阵，得到的矩阵等于原矩阵
单位矩阵相当于数字中的1
运算法则
顺序不能轻易颠倒
矩阵的转置
运算规则
矩阵的行列互换
方阵的幂
分块矩阵
将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(子块)，把子块看成原矩阵的一个元素
分块矩阵求逆公式证明
初等变换
初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵
三种
以三阶举例
解方程组只能用行变换
矩阵的等价
等价≠相等
矩阵等价充要条件
初等矩阵与初等变换性质
初等矩阵的转置仍是初等矩阵
初等矩阵均是可逆阵，且其逆矩阵都是初等矩阵
初等矩阵左乘A，相当于对A进行相应的行变换；右乘则是列变换
乘的初等矩阵离A越近，运算的优先级越高
运算顺序为：①A的第一行加到第三行 ②在①算完后，对第一二行互换
伴随矩阵
求伴随矩阵时注意两个要点
7的证明
可逆矩阵必须是方阵
n阶矩阵A可逆的充要条件
单位矩阵一定是方的，因此如果知道A是方的，那B也一定是方的
A是初等矩阵
A与单位矩阵等价
逆矩阵运算性质
看到有可逆矩阵和E，要特别注意对E进行的灵活使用
求逆矩阵的方法
证明是逆矩阵方法
行列式|A|不为0
r(A)=n
特征值全不为0
矩阵的秩
计算
进行初等行变换化为行阶梯/行最简
行阶梯矩阵，行最简矩阵定义
行阶梯矩阵
如果矩阵中有零行，则零行一定在最底部
每个非零元的主元，它们的列指标随着行指标的递增而严格增大 (主元只能存在于“主对角线”上或右边）
不是行阶梯矩阵
是行阶梯矩阵
行最简矩阵
在行阶梯矩阵的前提下，如果还满足非零行的主元为1，且主元所在列的其他元素都是0
不是行最简
是行最简
利用矩阵的秩的定义
存在最大r阶余子式不为0，且r+1阶余子式都为0 则此时的r称为矩阵的秩
经初等变换后矩阵的秩不变
r(A)=行秩=列秩
特殊矩阵
对称矩阵
实对称矩阵的伴随，转置，逆矩阵仍为实对称。 实对此矩阵想相加减仍为实对称矩阵，相乘不一定
反对称矩阵
正交矩阵
正交矩阵的逆，转置，伴随仍为正交矩阵 正交矩阵相乘仍为正交矩阵，但相加减不一定
对角矩阵
只允许主对角线有元素，其余元素都为0
数量矩阵
数k与单位阵E的积
单位矩阵
第三章 向量
特殊的矩阵
行，列向量
行向量
列向量
向量组
若干个同维数的行向量（列向量）所组成的集合
向量相等
同维+对应元素相等
向量的运算
加法
数乘
内积
向量的长度
正交规范化 正交矩阵
施密特正交规范化
得到单位正交矩阵（r1,r2,..,rn)
线性表示
线性组合和线性表出定义
向量组的线性表出
区别向量组的等价和矩阵的等价，和注意等价与相等的区别
向量组和其极大线性无关组是等价向量组
等价而非相等，相等只是等价的一种特殊情况
一个向量组中各极大线性无关组之间是等价向量组，且向量个数相等
联系非齐次线性方程组Ax=b
无关
加1个线性相关
多数向量可由少数向量线性表出，多数向量一定线性相关
线性相关
线性相关定义
线性无关，则k1=k2=...=kn=0 证明常用
含有零向量，相等向量，成比例向量一定线性相关
单个向量时，零向量一定线性相关
几何上
n+1个n维向量必定线性相关
方程个数大于向量维数一定线性相关 n维向量线性无关方程个数最多为n个
部分，整体组
延伸意思就是增加变量
部分，整体组是对应减少/增加方程个数即增加/减少向量的个数
个数不变，增加变量，增强无关性
变量数不变，增加个数，增强相关性
延伸，缩短组
判定
充要条件
r(a1,a2,...,as)<s (n为向量的个数)
A中的一个向量可由A的另外向量线性表出
充分条件
n+1个n维向量
多数向量可由少数向量线性表示
含有零向量
线性无关
Ax=0只有零解
r(a1,a2,...,as)=s
A中任何一个向量都不能由A中其他向量线性表出
阶梯型向量组
极大线性无关组
向量组的极大线性无关组一般不唯一，但极大无关组的向量数是一样的
只有一个零向量的向量组没有极大线性无关组
零向量必线性相关
求法
最简行阶梯，主元是1的那一列对应的是极大线性无关组的元素
向量组的秩
向量组极大线性无关组的所含的向量个数
矩阵A存在r阶子式不等于0，r阶以上子式均为0，则称矩阵A的秩为r，记为r(A)
零矩阵的秩规定是0
经初等变换矩阵的秩不变
矩阵的秩=行秩=列秩
第四章 线性方程组
只能做初等行变换,方法论的应用问题
矩阵形式
齐次线性方程组
基本概念
解的理论
只有零解
存在条件
1.系数矩阵若为方阵，则行列式不为0 2.系数矩阵满秩(即等于自变量的个数)
非零解
解的结构
联系后面求特征向量
注意两个点：基础解系对应的是解向量的极大线性无关组 基础解系不唯一
如何求解
化成最简行阶梯形式
对应解取1
非主元元素取反
非齐次线性方程组
无解
有解
无数解
唯一解
概要
最简行阶梯
右边是Ax=b特解，左边是Ax=0通解
特解不唯一，特解选随便一个满足Ax=b的即可
解的性质
解的关系，如果Ax=有三个线性无关的解<=>Ax=0有两个线性无关的解 说明：因为a1,a2,a3是Ax=b线性无关的解,所以a1-a2,a2-a3是Ax=0的两个线性无关的解
齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的关系
矩阵不一定是方阵
向量形式
齐次方程组
解与向量的联系
非齐次方程组
公共解，同解的问题
公共解
将两个方程组合并为一个，求该方程组的解，其解则为公共解
同解
通解则基础解系必须一致，因此两个方程组的系数矩阵秩应一致
做题思路
如有方程组就加减消元、讨论参数，求解
如无方程组大概需求秩，用解的结构分析推理求解
一些常见的失误
通过单位阵求解出基础解系时，特别注意非齐次线性方程组，因为可能会因此将特解的位置给错了
计算低级错误，解向量表示错误，注意有多少个变量解向量就有多少行
第五章 特征值，特性向量
针对方阵
特征值，特征向量
特征多项式，特征方程
求特征值，特征向量
求特征值
注意：抽象表达式可以体现λ的取值范围，但不代表这就是λ的取值
统一用E-A的形式，用Ａ- E的形式会存在负号的判断问题
求特征向量
适合已知A的矩阵形式
适合于A未知的情况
注意
题目要求写出特征向量时，要写成通解的形式，而不是只写出基础解系，特征向量非唯一
注意是非零向量
行列式=特征值相乘 矩阵的迹=特征值相加
重根的特征向量个数不多于其重根的个数
相似矩阵
标注
如果n阶矩阵A和B相似 ，则A和B的特征值相等
题型
求解使之相似的矩阵
求解特征向量
关键：如何使用另一个矩阵的特征向量表达式
反求矩阵A
矩阵相似必要条件
注意特征值相等不能推出矩阵相似
实对称矩阵相似的充要条件是特征值相等
关键在于其都有对角矩阵当桥梁
矩阵对角化
矩阵相似构成对角矩阵找的是特征向量 区别于二次型的正交矩阵，需进行单位正交化
充分必要条件
n阶矩阵有n个线性无关的特征向量
步骤
注意前提是可对角化，因此要判断能不能对角化先
实对称矩阵隐含的信息
实对称矩阵必可相似对角化
实对称矩阵属于不同特征值对应的特征向量相互正交
正交矩阵的性质
实对称矩阵的充要条件
n阶实对称矩阵 <=> n个特征向量相互正交
用正交求特征向量
如果实对称A有3个不同的特征值
若知道两个特征向量，由于第三个特征向量与其正交，可以列出方程组，求解出第三个特征向量
若特征值有重根，则由单根的特征向量可以求出重根的所有特征向量
解题步骤
1.求出特征值
2.求出特征向量
3.正交单位化
如果特征值是单值，则只进行单元化
如果特征值有重根，对重根的特征向量需要施密特正交化处理，后进行单位化
斯密特正交化
4.将正交单位化的向量构成正交矩阵Q
注意特征向量和特征值的对应顺序保持一致
该章节计算问题突出，因为计算的出错的占大头
不能先对矩阵进行初等行变换再加进入λ，正确的是加入λ后再加加减减
注意：对实对称矩阵的初等行变换技巧，通常都是先化一项使之能提出一项，再利用常数化简，最后用行列式展开公式求解
第六章 二次型
矩阵表示
注意二次型的条件，A必须是对称矩阵，这个点在证明时易漏 对称矩阵即实对称矩阵
改造成对称矩阵的方法
标准型
只含有变量的平方项
A只有主对角线上有元素(A为对角矩阵)
惯性定理
与二次型的秩联系
惯性指数
正惯性系数 p
注意题目给出一个化简好的式子，让你判断正惯性指数，要注意其是否是坐标变换，即坐标变换矩阵行列式不为0
平方项系数为正的个数
负惯性系数 q
平方项系数为负的个数
对于一个二次型，不论取怎样的坐标变换化为标准型，其正平方项的个数p和负平方项的个数q都是由所给二次型唯一确定的
合同
证明两个矩阵合同的一般思路，找其规范型矩阵作为媒介，若其规范型一样，则两个矩阵合同
实对称矩阵相似一定合同
实对称矩阵相似，则证明其规范型是一样，故合同
合同则不一定相似
合同可以保证两个矩阵的特征值正负性一致，保证不了特征值是相同的，因此推不出相似
如何化为标准型
坐标变换
注意C是可逆矩阵
如何证可逆
行列式不为0
Cx=0只有0解
不存在为0的特征值
矩阵满秩
C*的秩为n
任意n元二次型都可以通过坐标变换化为标准型二次型
二次型矩阵A是对称矩阵，对称矩阵一定可以相似对角化
注意：坐标变换不唯一，得到的标准型也是不唯一的 利用正交变换只是其中一种坐标变换的方法
任一实对称矩阵A，总是合同一个对角矩阵
实对称矩阵相似则一定合同 实对称相似于特征值对角矩阵
方法
配方法
了解
正交变换法
在相似对角化的基础上对有重根的特征向量用斯密特正交法进行正交，最后对所有正交向量进行单位化从而得到正交变换矩阵
注意特征值的顺序和对应特征向量顺序的一致性
写出二次型矩阵
求出特征向量
构成正交矩阵Q
特征向量单位正交化
xTAx化为标准型的坐标变换和其标准型不是唯一的
xTAx化为规范型的坐标变换不是唯一的，唯一确定是只有其规范型
规范型
搞清楚标准型和规范型的表示是如何表示
只有平方项，且平方项的系数只能是1,-1,0
正定
正定的充要条件
定义法
特征值法
特征值都大于0
惯性定理法
正惯性指数=n (n代表n元二次型)
合同法
A与单位矩阵合同
顺序主子式法
搞清顺序主子式子的定义
正定的必要条件
正定矩阵A的行列式即|A|>0
因为特征值都大于0
正定矩阵A的主对角线元素均大于0
如果主对角线有负/0的元素，写成平方项的形式，则知道一定可以取到负值/0
小结
矩阵的等价，相似，合同概念辨析
等价
相似
在实对称矩阵中，相似的关键是特征值相等
合同的关键是特征值的正负是一样的
因此相似可推合同，合同推不出相似
