导图社区 第二章：方阵的行列式
《线性代数及其实验》第二章思维导图整理。
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民法分论
方阵的行列式
行列式的性质
转置行列式
把n阶行列式D中的行与列互换所得到的n阶行列式
记作：DT
性质1
行列式转置后，其值不变，即DT=D
行列式中行与列1地位相同，反对行成立的性质对列必成立（反之亦然）
性质2
交换行列式两行（列）的位置，行列式的值变号
推论
若一个行列式中有两行（列）对应的元素相同，则这个行列式为零
性质3
用数k乘以行列式的某一行（列），等于用k乘此行列式
若行列式中的某一行（列）的元素全为零，则此行列式为零
性质4
若行列式中有两行（列）元素对应成比列，则此行列式为零
性质5
性质6
如果把行列式某一行（列）的各元素同乘以数k再加到另一行的对应元素上，行列式的值不变
利用性质计算行列式
行列式展开定理
行列式按任意一行展开
定理
行列式D=|aij|等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
行列式按行（列）展开法则
目的：简化运算
范德蒙德行列式：Dn=
代数余子式的性质
克莱姆法则
若线性方程组的系数行列式不为0，则方程有唯一解
齐次线性方程组
线性方程组右端常数项全部为零
零解
对于齐次线性方程组；x1=x2=…=xn=0一定是它的解
非零解
有一组不全为零的数是齐次线性方程组的解
齐次线性方程组有解的条件
如果齐次线性方程组的系数行列式不等于0，则方程只有零解
非齐次线性方程组
线性方程组右端常数项不全为零
n阶行列式及定义
左端：二阶行列式
记为：DetA=|A|
简记为：D
求解二元线性方程组
方程组的系数行列式
右端：二阶行列式的展开式
展开式可以用对角线法则来叙述
=a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1
左端：三阶行列式
求解三元线性方程组
右端：三阶行列式的展开式
展开式可以用对角线法则来叙述：
A=
n阶行列式
定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式
记为：|A|或DetA
余子式
定义：在|A|中，把元素aij所在的i行j列删去后余下的n-1阶行列式
记为：Mij
代数余子式
定义：在Mij前添加（-1）i+j
记为Aij
定义
|A|等于它的第一行元素和它的代数余子式乘积之和
简记：按行列式的第一项展开
上（下）三角形行列式
上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积
*n阶行列式按排列，反序数展开
排列
把n个不同的元素按一定的顺序排成一行（n≥2），称为这n个元素的一个排列
由自然数1，2，...，n组成的有序数组称为一个n阶排列
通常用i1i2…in表示n阶排列
n阶排列：123...n，具有自然顺序称为自然排列（标准排列）
反序
在排列i1i2…in中，对于任意两个数码i，j，若大数排在小数之前，则称这两个数码为反序，所有反序的总数称为反序数，记为：
若排列i1i2…in的反序数为奇（偶）数，则称该排列为奇（偶）排列
对换
交换排列中任意两个数码i，j的位置，而其余数码不动，这种对排列的变换称为对换，记为（i，j），将两个相邻数码对换，称为相邻对换
对换改变排列的奇偶性
任意一个n阶排列必克经过若干次变换变成标准排列
且对换次数的奇偶性与该排列奇偶性一致
n阶行列式按排列，反序数展开
符号规律的推广
简介
研究线性方程组，矩阵问题的重要工具
对三阶行列式展开特点分析：
1. 有3^2个元素，3！项代数和
2. 每项都是行列式中3个元素的乘积，且三个元素恰好是不同行不同列
3. 每项带有确定的符号，每项3个元素行标按自然排列
带+号的排列的反序数都为偶数，即排列都是偶排列
带-号的排列的反序数都为奇数，即排列都是奇排列
4. 即可表示为
同理
二阶行列式可表示为：
n阶行列式可表示为：
