张宇18讲-第14讲：二重积分和18讲：多元函数积分

与张宇书上框架基本一致，很多课堂笔记也有所补充。

二重积分、三重积分与曲线曲面积分

• 二重积分
  • 性质
    • 曲顶柱体的体积
      • 可积函数必有界
      • 积分的线性性质
      • 积分的可加性
      • 积分的保号性
    • 普通对称性
    • 轮换对称性
      • • 常用
          • x. y互换字母：积分值与用什么字母表示无关
          • 若把x与y对调后,区域D不变(积分区域常是个圆)
          • 常用于被积函数是抽象的或复杂的，无法直接计算
  • 计算
    • 后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限
      • 直角坐标系
        • 注:积分区域的下限都必须小于上限
      • 极坐标系
        • 一般不讨论积分次序，几乎所有的计算都是先积r后积θ
    • 极坐标系与直角坐标系选择的一般原则
      • 1、看被积函数是否为常见形式：
      • 2、 再看被积函数是否是圆或圆的一部分
      • 3、如果上述两个条件均满足，优先考虑极坐标系，否则优先直角坐标系
    • 出题角度
      • 极直互化
        • 考研常常给极坐标要化成直角坐标，给直角坐标要化成极坐标
          • 常用：
        • 用好x=rcosθ y=sinθ
        • 面好区域D图形，确定上下限
      • 积分次序
        • 用于有原函数但是求不出初等函数形式的原函数
        • 直角坐标系下交换积分次序
        • 极坐标系下交换积分次序
    • 用二重积分处理一元积分的问题
  • 几何应用
• 三重积分
  • 概念与对称性
    • 概念
      • 密度为f(x,y,z)的空间物体的质量
    • 对称性
      • 普通对称性
      • 轮换对称性
        • 将被积函数的两个自变量对调位置后，结果不变
          • 积分曲面常为球面
  • 计算
    • 直角坐标系
      • 先一后二法(先z后xy法,也叫投影穿线法)
        • 适用场合
        • 计算方法
          • 投影面积如果是个圆，此时用极坐标系很好解决问题。
      • 先二后一法(先xy后z法,也叫定限截面法)
        • 适用场合
          • 是旋转体，z的范围通常是知道的
          • 或积分的函数f(x,y,z)只是关于z的函数
    • 柱面坐标系=极坐标下二重积分与定积分
      • 适用场合
        • 为柱体、椎体、旋转抛物面与其他曲面所围立体
        • 或被积函数为f(x²+y²）形式
      • 计算方法
    • 球面坐标系
      • 适用场合
      • 计算方法
        • • • 要根据球面表达式求出r的取值范围
  • 应用
    • 体积
    • 总质量
    • 重心
      • • 做题时先看图形是否对称
        • 形心公式的逆用
          • 求三重积分：
          • 求第一型曲线积分
          • 求第一型曲面积分
          • 使用条件： ①形心已给，且面积、体积、长度好算的情况下 ②规则几何体的条件下
    • 转动惯量
    • 引力
• 第一型曲线曲面积分
  • 第一型曲线积分
    • 概念
      • 密度为f(x,y,z)空间曲线的质量
    • 对称性
      • 普通对称性
      • 轮换对称性
    • 计算
      • 一投二代三计算(化为定积分)
        • • 特殊情况
    • 应用——物质曲杆
      • 总质量、重心(质心)、转动惯量
  • 第一型曲面积分
    • 概念
      • 密度为f(x,y,z)空间曲面的质量
    • 对称性
      • 普通对称性
      • 轮换对称性
    • 计算
      • 一投二代三计算(化为二重积分)
        • ③
        • 1.有些立体(比如球体，柱体)方程开了根号之后会有两个方程，得把这两种情兄分别计算 2.对于类似柱面x²+y²= 1,不往xoy面投影，因为z不知道， 可以往xoz, yoz投影 3.计算第一型曲面积分经常要观察立体关于坐标面的对称性以简化计算
    • 应用——曲面薄板(物质曲面)
      • 重心、总质量、转动惯量
  • 注意
    • 求第一型曲线曲面积分，除了计算方法常用的技术方法有： 1：将边界方程带入被积函数 2：利用对称性 3：有形心且面积或长度好求的条件下考虑形心公式
• 第二型曲线曲面积分
  • 曲线积分
    • 物理意义:变力F= P(x,y)i + Q(x, y)j + R(x, y)k沿L指定方向的做功
      • 它是一个向量函数沿有向函数的积分
    • 计算方法
      • 一投二代三计算(化为定积分)
      • 格林公式 （针对平面曲线）
        • 公式
        • ①曲线封闭且无奇点在其内部，直接用格林公式
          • P和Q都没有分母
        • ②曲线封闭但有奇点在其内部.若奇点外
          • 则换路径(一般令分母等于常数作为路径,路径的起点和终点不需与原路径重合)
        • ③非封闭曲线若
          • 则换路径(换简单路径，路径的起点和终点需与原路径重合)
            • 换的新路径与原路径围成的区域内不能有奇点，否则路径无关定理不能用
        • ④非封闭曲线，可补线使其封闭(加线减线)
        • ⑤积分与路径无关问题
          • 出题角度：
        • ⑥用曲线积分求图形面积：
      • 两类曲线积分的关系
      • 斯托克斯公式 （针对于空间曲线）
        • ①-投二代三计算(参数方程简单或曲线不在同一平面）
          • ①先找出L的方程
          • ②
            • 对坐标的曲线积分的积分区间的下限是起点，上限是终点，下限不一定小于上限! !
        • ②曲线封闭且在同-平面上，可用斯托克斯(Stokes)
          • • cos是单位法向量，法向量 与Z轴夹角为锐角时，它为正
        • ③rot F= 0(无旋场) ,可换路径
  • 曲面积分
    • 概念
      • 向量函数通过某有向曲面的通量
    • 计算
      • 基本方法一--投二代三计算(化为二重积分)
        • 分别投影都相应的坐标面上，例如：
          • • 投影区域不能重叠，否则要分开来算
          • ③确定正负号,若平面的法向量与z轴夹角为锐角则取“+”,否则取“一”。
      • 转换投影法（只投影到一个面上）
      • 高斯公式
        • ①曲面封闭且无奇点在其内部，直接用高斯公式
        • ②曲面封闭但有奇点在其内部.若奇点外div F= 0，则换个面积分(边界不需与原曲面重合)
        • ③非封闭曲面,若divF=0可换个面积分(边界需与原曲面重合)
        • ④非封闭曲面,补面使其封闭(加面减面)
        • ⑤由div F=0,建方程求f(x)
        • ⑥求曲面所围成的体积：
    • 两类曲面积分的关系
      • 、