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考研数学线性代数
史上最全考研数学线性代数思维导图，总结了包含行列式、向量、矩阵、线性方程组、特征值，特征向量，相似矩阵等知识要点。
编辑于2020-10-02 15:08:06- 线性代数
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线性代数
1. 行列式
1.1. 考点内容
1.1.1. 行列式的概念
行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，注意逆序数
n个元素的下标构成一个有序数组，n！个排列，大的数排在小的数前，称构成一个逆序
1.1.2. 行列式的性质
转置行列式值不变
两行两列值互换，行列式值变号
某行含有公因子k，则可提出到行列式记号外
某行，列元素全为零，行列式值为零
两行元素成比例，行列式值为零
某行，列是两个元素之和，可把行列式拆成两个行列式之和
某行k倍加到另一行，行列式值不变
1.1.3. 行列式展开公式
n阶行列式的值等于他的任何一行（列）元素，与对应的代数余子式乘积之和
m为余子式
1.1.4. 几个重要的便捷公式
上三角，下三角
主对角线元素乘积
副对角线
拉普拉斯展开式（分块矩阵）
范德蒙展开式
1.1.5. 针对n阶抽象方阵的常用公式
A转置的行列式等于A的行列式
1.1.6. 代数余子式的性质
行列式的任一行与另一行的代数余子式乘积之和为零
1.2. 例题归纳
1.2.1. 求行列式展开式中x的次幂的系数
把行列式化简，后用行列式的定义（不同行不同列的元素的乘积），逆序数来分析
1.2.2. 数字型行列式的计算
一般型行列式
化简后按行按列展开
根据行列式的结构，把他往几个便捷的重要公式上化简，后用公式
对称性行列式
把每行都加到同一列，化上下三角
钩型行列式
逐行相加，按最后一行展开
大对角线型行列式
逐行相加，将其三角化
证明A的行列式
数学归纳法
拉普拉斯和范德蒙
用行列式的性质构造，然后用公式
1.2.3. 抽象型行列式的计算
目标矩阵两个抽象矩阵
两个矩阵形式（各个元素）已知，求结合后的
用行列式的运算性质，恒等变形题目已知的条件
两个矩阵形式未知，但知道各个组合后的数据，无法找到目标形式的运算法则
注意目标矩阵的恒等变换（E变形）
目标矩阵一个矩阵
知道原行列式求变换后的
知道A的行列式，就可以求的A的逆，A的伴随，A的转置的行列式
知道一系列变化过程求原来的
求行列式的话，只需要知道相似矩阵的行列式（特征值），尽量把已知条件改写成矩阵的乘法，用相似，特征值的性质
1.2.4. 行列式是否为零的判定
矩阵A不可逆
A的秩小于N
Ax=0有非零解（行向量，列向量线性相关）
0是矩阵A的特征值
1.2.5. 代数余子式的求和
对于求特定某一行或某一列
构建新行列式，按照一行展开
如不包含一行全部元素，可以构造若干个行列式为零（两行成比例）的行列式，按某行展开，再求目标元素
对于任意行任意列的
通过求出A的逆，进而求出A的伴随，找到指定元素带入即可
2. 矩阵
2.1. 考点概括
2.1.1. 矩阵的概念及运算
概念
m*n个数排列成一个m行n列的表格，称为一个m*n的矩阵
矩阵也可以看做一连串的运动动作（有方向）
运算
加法
同型矩阵可相加
数乘
乘法
矩阵乘法是在解方程组时引入的，对应了方程组的变换
转置
运算规则
加法
交换律
结合律
数乘
交换律
结合律
乘法
分配律
BA=/AB
转置
伴随阵的运算
方阵的幂
几种特殊的矩阵
单位阵
主对角元素为1，其他为0的矩阵
数量阵
数k与单位阵的乘积
对角阵
非对角元素都为零的矩阵
上下三角阵
对称阵
满足A的转置等于A
反对称阵
满足A的转置等于-A，主对角元素为零
正交阵
A的转置乘A=E
初等矩阵
单位阵经过一次初等变换
伴随矩阵
由矩阵A的行列式的左右代数余子式所构成的形如
2.1.2. 可逆矩阵
概念
AB=BA=E成立，则称A为可逆矩阵，或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵
A可逆的充要条件
逆矩阵的运算
求逆矩阵的方法
公式法
求伴随矩阵
初等变换法
初等变换
定义法
概念
分块矩阵
2.1.3. 初等变换，初等矩阵
定义
初等变换
倍乘
互换
倍加
初等矩阵
等价矩阵
A经过有限次初等变化变成的矩阵
初等矩阵与初等矩阵的联系
初等矩阵的逆（2）
2.1.4. 矩阵的秩
概念
若A中存在r阶子式不等于0，且所有的r+1阶子式若存在，均等于0，则称矩阵A的秩为r.
矩阵秩的公式
2.1.5. 分块矩阵
概念
将矩阵用若干纵线和若干横线分成许多小块，每一块称为原矩阵的子矩阵，把子矩阵看成一个元素，原矩阵称为分块矩阵。常见的有列分块，行分块
分块矩阵的常用运算
2.2. 例题归纳
2.2.1. 矩阵概念及运算的应用
矩阵相乘无交换律
n维列向量和与他转置的乘法
2.2.2. 特殊方阵的幂
对于秩等于1的矩阵
可分解为两个矩阵（列向量和行向量）的乘积，进而求n次幂
上三角下三角矩阵
可以分解成一个B矩阵和单位阵的加减，矩阵B若干次幂后会等于0
分块矩阵
有明显的分块特征的矩阵，应分块对前两种情况的讨论
A有相似矩阵
用相似矩阵的初等变换的乘积式子求
无头绪
简单试乘若有规律可循用归纳法
2.2.3. 伴随矩阵的相关问题
知道A矩阵，求其伴随，逆的伴随
只A,B，和C和A,B之间的关系，求C的伴随
运用伴随的公式，逆的公式即可
伴随矩阵的秩
2.2.4. 可逆矩阵的相关问题
求实体矩阵的逆
求伴随矩阵进而求逆
初等行变换代换
求抽象矩阵的逆
条件有等式就构造AA-等于E的性质
条件没有等式就假设出A-，根据AA-等于E构造方程组
2.2.5. 初等变换和初等矩阵的计算
涉及左行右列，初等矩阵的逆
3. 向量
3.1. 考点概括
3.1.1. n维向量的概念及运算
n维向量
零向量
所有的分量都为零的向量
加法
数乘
内积
3.1.2. 线性表出，线性相关
线性表出
如果两个线性表可以互相线性表出，则称两个向量组等价
线性相关
重要的定理
3.1.3. 极大无关组，秩
概念
向量组中极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩
有关秩的定理
3.1.4. 正交化，正交矩阵
正交化
正交矩阵
3.1.5. 向量空间
概念
规范正交基
向量空间中两两垂直的一组基
过渡矩阵
主要定理
3.2. 例题归纳
3.2.1. 线性相关的判别
若干个实体向量相关求参数
行列式为零
齐次方程组有非零解
已知某向量组线性无关，求向量组中向量重新结合后的向量组相关性
写成两矩阵相乘的形式，求B的线性相关性
3.2.2. 向量的线性表示
某实体向量不可由已知向量组表示，求参数
求增广矩阵的秩和原矩阵的秩
某实体向量组可由已知向量组线性表示，求线性表达式
增广矩阵求解，（必有唯一解，且原矩阵可化为单位阵）
抽象向量组及其相关性
找实例带入
根据定义反证法
3.2.3. 线性相关，线性无关的证明
定义法
设k
秩
两个矩阵相乘
齐次方程组只有零解
行列式
3.2.4. 秩与极大线性无关组的计算
已知矩阵求其极大线性无关组
已知几个向量组的秩，求组合后向量组的秩
一般根据条件确定向量组中各个向量的关系
在确定目标向量组是不是线性相关
3.2.5. 正交化，正交矩阵的计算
求与向量组正交的向量
与已知向量组分别内积为0，求齐次方程组的解
求已知矩阵为正交矩阵
列向量两两正交，且都是单位向量
3.2.6. 向量空间的计算
已知向量在一种基下的坐标，求另一组基下坐标
利用向量在其自然基下的坐标在数值上是一样的
向量在在不同基下乘以对应基下的坐标等于自然基下的坐标
不同基下的坐标相同
这种题型不是太常见
4. 线性方程组
4.1. 考点概括
4.1.1. 克拉默法则
4.1.2. 齐次线性方程组
向量形式
矩阵形式
齐次线性方程组的解
使A得列向量线性组合为零的线性组合系数
齐次线性方程组的基础解系
向量个数为n-r
向量均为解向量
向量之间组成线性无关向量组
解的性质
有解的条件
至少有零解
列（行）向量组线性无关只有零解（r(A）= n）
4.1.3. 非齐次线性方程组
向量形式
矩阵形式
非齐次线性方程组的解
b可由A的列向量线性表出的表出系数
解的性质
有解的条件
通解结构
4.2. 例题归纳
4.2.1. 线性方程组的基本概念问题
齐次方程组有非零解求参数
行列式为0
r(A) < n
非齐次方程组有解的条件
A的秩等于增广矩阵的秩
齐次方程组已知基础解系，求目标向量组是不是解向量
=目标向量能不能由基础解系线性表出=非齐次方程组的解问题
已知非齐次方程组的解或解的组合，求通解
求特解，基础解系
4.2.2. 线性方程组的求解（基础解系，通解）
常规的实体的有限个齐次方程组的求解
化行阶梯
求基础解系
求通解
无限个方程组带参数的求解
对方程组的系数矩阵进行初等行变换化行阶梯矩阵（注意此时参数的取值讨论，参数取值不同，方程组的解大不相同）分情况讨论后，有非零解的情况按常规的求出基础解系，求通解
常规的实体的有限个非齐次方程组的求解
增广矩阵
行阶梯
判断解的个数
求解
4.2.3. 基础解系
已知方程组的基础解系，求另个向量组是不是基础解系
基础解系的三个条件
4.2.4. 齐次方程组的系数矩阵A的行向量和解向量的关系（由基础解系反求A）
4.2.5. 线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系
已知通解，求线性表出，或求另一个矩阵的通解
4.2.6. 两个方程组的公共解
4.2.7. 两个方程组的有相同的解
4.2.8. 线性方程组的有关杂题
几何和线性代数的结合
5. 特征值，特征向量，相似矩阵
5.1. 考点内容
5.1.1. 特征值，特征向量
特征值，特征向量
特征方程，特征多项式，特征矩阵
特征值的性质
求特征值，特征向量的方法
5.1.2. 相似矩阵，矩阵的相似对角化
相似矩阵
每个矩阵都有相似矩阵
矩阵可相似对角化的充要条件
A有n个线性无关的特征向量
A的每一个r重特征值对应的线性无关特征向量等于该特征值的重数r
相似矩阵的性质及相似的必要条件
性质
必要条件
特征多项式相同
秩相同
特征值相同
特征值的两个性质通用
5.1.3. 实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵
A的转置等于A的矩阵
实对称矩阵的特征值，特征向量及相似对角化
特征值全部是实数
不同特征值对应的特征向量相互正交
实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤
解特征方程，求出全部特征值
求属于每个特征值的线性无关的特征向量，若有特征值有k重根，则对应特征值必有k个线性无关的特征向量
将每个特征值的特征向量正交化，（不同特征值对应的特征向量已相互正交）
将全部正交后的特征向量单位化，得标准正交向量组
合成正交矩阵，即为所求的正交阵Q
5.2. 例题归纳
5.2.1. 特征值，特征向量的求法
数值矩阵特征向量，特征值的求法
列出特征多项式，求出特征值即可
抽象矩阵特征值特征向量的求法
已知A的特征值，特征向量，利用定义求A相关矩阵的特征值，特征向量
常见的A与A的相关矩阵特征值，特征向量的关系
或用特征方程求，例求幂等阵(A^2=A)，A的特征值的取值范围
5.2.2. 两个矩阵有相同特征值的证明
证明两个矩阵有相同的特征值，只需要证明他们有相同的特征方程
利用相似，A,B相似的必要条件是有相同的特征值，反之不成立
5.2.3. 关于特征向量
已知a是A的对应特征值的特征向量，那a也是对应的A^2特征值的特征向量，反之不成立
5.2.4. 矩阵是否相似于对角阵的判别
看是否是实对称矩阵，实对称矩阵必相似于对角阵
若不是，则求A是不是有n个互不相同的特征值，若有也相似
若没有，但A中有r重根的特征值，对应r个线性无关的特征向量，则也相似
5.2.5. 利用特征值，特征向量及相似矩阵确定参数
应注意前面所提到的A的表达式的特征向量都与A相同，不同的是特征值，这样求A的逆的特征向量的时候，只需要求A的特征向量就行了
5.2.6. 由特征值，特征向量反求A
A是非实对称阵，但可以相似对角化
A是实对称阵
实对称的话，等于多了一个条件—不同特征值对应的特征矩阵相互正交，知道一个特征向量的话，可以根据正交求出其他的特征向量，最后根据对角化反求出A
5.2.7. 矩阵相似及相似标准形
已知A求对角阵
没难度，求特征值，和特征向量即可
已知A相似于B，求可逆阵P
B为对角阵
直接求
B非对角阵
间接通过对角阵
已知A，求A的表达式的对角阵
应注意表达式只改变特征值，不改变特征向量
已知实对称矩阵A，求正交阵Q
相比求可逆矩阵P，多了一步正交，应注意正交阵Q，Q的逆等于Q的转置，求转置可比求逆简单多了
5.2.8. 相似对角阵的应用
运用到递归关系
运用到n次幂上
也可以由已知特征值，特征向量，先求A及A^n，再计算问题
6. 二次型
6.1. 考点概括
6.1.1. 二次型的概念，矩阵表示
二次型的概念
n个变量的一个二次齐次多项式称为n个变量的二次型，系数均为实数，称为n元实二次型
二次型的矩阵表示
原理为变量分组的因式分解
二次型的秩
二次型的秩规定是A的秩，（A必须是对称阵）
6.1.2. 化二次型为标准形，规范形，合同二次型
二次型的标准形，规范形
若二次型只有平方项，没有混合项，则称二次型为标准形（又称平方和）
在二次型是标准形的前提下，平方项的系数只是1,0，-1，这样的二次型又称为规范形
化二次型为标准形，规范形
正交变换法
配方法
只能化二次型为标准形，一般不能化规范形
合同矩阵，合同二次型
合同
A,B为两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C的转置乘AC=B，则称A合同与B
二次型f和g称为合同二次型，显然合同变换不改变秩
惯性定理
对于一个二次型，做可逆线性变化成标准形，所做的可逆线性变化不唯一，标准形也不唯一，但每个标准形中的正平方项系数（正惯性系数）p都是相等的
可见实对称矩阵A合同B，充要与其对应的二次型有相等的正惯性系数
6.1.3. 正定二次型，正定矩阵
正定
对任意的非零向量X，恒有二次型>0，则称二次型f正定，对应矩阵为正定矩阵
显然若f为正定矩阵，对应标准形矩阵对角元素都大于零
正定的充要条件
A合同与E
A的全部顺序主子式大于零
6.2. 例题归纳
6.2.1. 二次型的矩阵表示
展开式中系数对应于矩阵的元素之间的关系即可
6.2.2. 化二次型为标准形
用正交变换法
写成矩阵形式
求矩阵A的特征值，特征向量
对有重根的特征值正交化
全体正交向量单位化
合成正交阵
向量代换化为标准形
配方法化标准形
1. 从前往后对平方项陪完全平方，依次往后直至都是完全平方项，再变量代换即可
2. 若二次型中无平方项，不防设混合项的两个因子为平方和的两个因式项，进而使二次型中出现平方项，再按1进行配方，直至完全平方，在变量代换
6.2.3. 合同矩阵，合同二次型
求两矩阵是否合同，若合同求可逆阵C
用是否具有相同的正惯性系数判断合同
可以用初等变换一步步化简得到
用合同判断一个二次型的标准形
1. 二次型合同与 一个标准形，只需求出任一个标准形，按合同的充要条件（正惯性系数相等）比较即可
2. 也可直接大致判定二次型矩阵的特征值范围（正惯性系数），与已给的标准形比较
6.2.4. 正定性的判断
直接让判定一个具体的数值二次型的正定性
1. 写出对应矩阵A，求A的全部顺序主子式大于零判断
2. 也可求出A的特征值，判断是否全大于零
还有其他方法，但这两种最容易理解
判断有参数的二次型，参数满足什么条件时正定
写出对应矩阵，求特征值全大于零的条件
也可以用最原始的两个矩阵相乘的形式，其中若D可逆的话，A合同于E，所以A必正定，因此，这时只需求D可逆就好了，例
6.2.5. 正定二次型的证明
已知一矩阵A正定，证明A的表达式也正定
已知A正定，证明A和另一矩阵B的结合表达式也正定
概要
证明f正定不用证对称（因为f的A自带对称属性）；证明矩阵正定，首先要证明矩阵是对称阵，因为正定是在二次型的基础上研究的。。 所以关键是证明一个二次型f正定，还是证明任意一个矩阵正定 的问题
此题除了前面介绍的常规解法外，还有这种解法
其他方法不太好理解