导图社区 【数学物理方法】第三章 幂级数展开
【数学物理方法】对于第三章的幂级数展开的简单总结，重点： 1.求幂级数收敛半径的方法 2.复变函数泰勒展开条件与展开方法 3.复变函数洛朗展开条件与展开方法 4.留数的概念 5.极点（零点）阶的确定及其留数的求法
高等教育出版社 数学物理方程第五版内容总结，包含Fourier级数、Fourier积分与Fourier变换等。
《教育学 第七版》王道俊、郭文安主编的，在一定教育目的规范下，在教师有计划的引导下，学生能动地学习、掌握系统的课程预设的科学文化基础知识，发展自身的智能与体力，养成良好的品行与美感，逐步形成全面发展的个体素质的活动
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第三章 幂级数展开
1 复数项级数
定义
绝对收敛
模
一致收敛
复数项无穷级数
收敛性问题可以归结为两个实数项级数进行研究
柯西收敛判据
收敛的基本条件
绝对收敛的性质
1. 其级数必收敛
2. 绝对收敛的两个级数所相乘
3. 先后次序可以改变，其和不变
函数项无穷级数
但是需要注意多加上定义域的条件
一致收敛的性质
1. 定义域
2. （B）若单项为连续函数，那么总和为……
3. （l）若单项为连续函数，那么总和为……
4. 一致收敛证明解析，总和的阶导数可由各项求导得出
5. 绝对且一致收敛的条件
各项的模小于最大值，一个常数
2 幂级数
幂级数
函数项级数的一个分支
收敛圆
收敛半径
比值判别法(达朗贝尔判别法)
范围小于半径
证明绝对收敛
范围大于半径
证明发散
根植判别法(柯西判别法)
严格注意定义域
幂级数的性质
1. 幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛
2. 幂级数的和函数在收敛圆内部是解析函数（无奇点）
3. 级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次
泰勒级数展开
泰勒级数
解析函数以幂级数展开问题
幂级数可以展开成泰勒级数的条件
任意阶导数都存在的实变函数
泰勒级数的性质
1. 解析函数在收敛圆内以同一点为中心展开的泰勒级数是唯一的
2. 若函数在收敛圆或外部不解析，则函数与展开的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等
3. 在不同点展开，所得的泰勒级数不同
解析函数展开为泰勒级数举例
1. 直接展开法
1. 求出各项的导数（适用于有规律的或不改变的函数使用）
2. 带入公式
3. 使用比值判别法求出收敛半径
2. 间接展开法
1. 反求出函数的原函数
2. 利用指数级数进行计算
4 解析延拓
解析延拓
子主题
解析延拓的本质
解析函数的定义域扩大，找到所有的解析区域
解析延拓的方法
扫雷
函数解析延拓的唯一性
洛朗级数展开
我认为是特殊的泰勒级数展开
1. 洛朗级数的定义
含有负幂项的幂级数称为洛朗级数
2. 洛朗级数的收敛环
洛朗级数组成
解析部分
确定的数值
主要部分
负次幂级数
收敛环
解析部分的半径
主要部分的半径
同时收敛才能证明洛朗级数可能收敛
3. 洛朗定理
洛朗定理
洛朗级数的形式
洛朗定理的证明
1. 划定收敛环区域
2. 复连通的柯西公式
3. 解析部分的泰勒展开
4. 主体部分的几何级数展开
5. 整理
尤为注意范围、符号和路径方向
洛朗定理的几点说明
1. 洛朗级数可以在奇点附近展开，也可以在非奇点附近展开
2. 洛朗级数展开和泰勒级数展开不同之处
3. 如果环心是奇点，则内圆的半径可以任意小，即在奇点的邻域内展开
4. 函数的洛朗级数展开方法
直接
间接
6 孤立奇点的分类
孤立奇点
非孤立奇点
主要部分（无限部分）
孤立奇点与非孤立奇点
孤立奇点的分类及性质
孤立奇点一定是奇点，奇点不一定是孤立奇点
孤立奇点的分类
可去奇点
性质
1. 若补充定义（连续），则解析
2. 和函数也在奇点解析
前提：有第一点的定义
3. 连续的值
判定方法
1. 定义
2. 极限
是否存在且为有限值
极点
由定义的等价形式进行判断
极限
是否为无限
本性奇点
是否为不存在且不为无穷
需要学习的新级数：指数级数
并运用到泰勒级数展开的证明中
重点： 1.求幂级数收敛半径的方法 2.复变函数泰勒展开条件与展开方法 3.复变函数洛朗展开条件与展开方法 4.留数的概念 5.极点（零点）阶的确定及其留数的求法
