第五章 傅里叶变换

高等教育出版社 数学物理方程第五版内容总结，包含Fourier级数、Fourier积分与Fourier变换等。

第五章 傅里叶变换

• 1. Fourier级数
  • 1. 周期函数的傅里叶展开
    • 展开方法（条件）
      • 1. 函数f以2l为周期
      • 2. 在区间[-l，l]处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点
      • 3. 在每个周期中只有有限个极值点，
      • 狄利克雷定理（狄氏条件）
    • 周期函数的傅里叶级数展开式
    • 性质
      • 1. 三角函数族两两正交
        • 任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零
        • 可以通过此性质求出傅里叶级数中的傅里叶系数
      • 2. 归一性
        • 积分为1
      • 3. 完备性
  • 2. 奇函数与偶函数的傅里叶展开
    • 若函数为奇函数
      • 展开的傅里叶正弦级数
        • • 则正弦级数的和在x=0、l处为零
      • 傅里叶正弦级数的傅里叶系数
    • 若函数为偶函数
      • 展开的傅里叶余弦级数
        • • 则余弦级数的和的导数在x=0、l处为零
      • 傅里叶余弦级数的傅里叶系数
        • • 注意此处默认
            • 当k=0时，则需要另外讨论
  • 3. 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
    • 定义在[-l，l]上的函数展开
    • 定义在[0，l]上的函数展开
    • 注意：函数f在区间 [0,l] 以外的区间无定义，所以延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们在 (0,l) 上均代表函数f，且函数值相等。
      • 对函数f边界的限制就决定了延拓的方式
        • 如果函数的和在x=0、l处为零，则延拓为奇周期函数
        • 如果函数的和的导数在x=0、l处为零，则延拓为偶周期函数
  • 4. 复数形式的傅里叶级数
    • 通过转换，利用三角函数的指数形式，生成复数形式的傅里叶级数（基函数）
• 2. Fourier积分与Fourier变换
  • A. 实数形式的傅里叶变换
    • 实数形式的傅里叶积分
    • 实数形式的傅里叶变换
    • 若非周期函数f（x）为奇函数
      • 对应的傅里叶积分（傅里叶正弦积分）
      • 对应的傅里叶变换（傅里叶正弦变换）
    • 若非周期函数f（x）为偶函数
      • 对应的傅里叶积分（傅里叶余弦积分）
      • 对应的傅里叶变换（傅里叶余弦变换）
    • Fourier积分定理
  • B. 复数形式的傅里叶积分
    • 复数形式的傅里叶积分
    • 复数形式的傅里叶变换
    • 复数形式的傅里叶积分和傅里叶变换之间可以相互转换，例如
      • • 图中等号右侧的第一个F均为花体写法
    • 对称形式
• 3.
  • I.
  • II.
    • 原函数是偶函数，导数是奇函数
• 本节研究的是非周期函数的Fourier展开、变换及性质
• 重要的五个傅里叶级数展开、变换、积分公式： 1.1、1.2、1.4、2.1、2.2
• 转换过程在ppt
• • 条件
• • 傅里叶系数通式
• 重点： Foueier级数展开方法 Fourier积分的展开条件和展开方法 Fourier频谱的物理意义