矩阵（上）思维导图

这是一篇关于矩阵（上）思维导图，包含基本概念、运算、矩阵的逆、矩阵的轶等。感兴趣的小伙伴关注收藏哦~~

矩阵

• 基本概念
  • n阶矩阵即n阶方阵
    • 对角元与主对角线
    • 几种特殊方阵
      • n阶对角矩阵
      • 单位矩阵、数量矩阵
      • 上三角矩阵、下三角矩阵
  • 行向量与列向量
    • n维行向量
    • m维列向量
  • 同形矩阵
    • 矩阵相等的前提
  • 零矩阵
  • 负矩阵
  • 线性变换、恒等变换
• 运算
  • 线性运算
    • 加法
      • 前提：同形矩阵
      • 对应元素相加
      • 运算律
        • 交换
        • 结合
        • 消去
    • 数乘
      • 每个元素都要乘
      • 运算律
        • 结合
        • 分配
  • 乘法
    • 前提：A行数=B列数
    • A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和
    • 运算律
      • 结合律
      • 分配律
      • 数乘与乘法的结合律
      • EA=A，AE=A
    • 注意
      • 矩阵乘法一般不满足交换律或消去律
        • 交换的条件：矩阵与其同阶单位阵或同阶数量阵可以交换
        • 题型：求可以与矩阵A交换的矩阵（即AX=XA）
  • 方幂
    • 前提：方阵
    • 与数幂的运算差不多
      • 但是！！（AB）^k！=A^kB^k 不相等！！
    • A的0次幂=E
    • A的m次多项式
  • 转置矩阵
    • 所有行换成相应的列
    • 运算律
      • 转置的转置为原矩阵
      • 和的转置=转置的和（可以推广）
      • kA的转置=k倍的A的转置
      • AB的转置=B的转置乘A的转置（推广：全部倒过来）
  • 对称矩阵
    • 转置矩阵=原矩阵
  • 反对称矩阵
    • 转置矩阵=-原矩阵
  • 方阵的行列式
    • 前提：要是方阵
    • 性质
      • 转置矩阵的行列式=原矩阵的行列式
      • |kA|=k^n|A|
      • |AB|=|A||B|
      • |AB|=|BA|
• 矩阵的逆
  • 前提：n阶方阵
  • 定义：AB=E存在，称A可逆，B为A的逆矩阵；若B不存在，称A为不可逆矩阵或奇异矩阵
  • 伴随矩阵
  • 定理：n阶方阵A为可逆矩阵的充要条件是|A|！=0
  • 矩阵的逆、伴随和其行列式的三个关系式
    • A的逆=A伴随/A的行列式
    • A伴随的逆=A/|A|
    • A伴随的行列式=|A|^（n-1）
  • 性质
    • 逆的逆为原矩阵
    • kA的逆为k分之一A的逆
    • A的逆的行列式=A的行列式分之一
    • A的转置的逆=A的逆的转置
    • AB乘后的逆=B的逆乘A的逆
    • 同侧消去律
  • 应用
    • 用矩阵的逆求解线性方程组的解：x=A的逆乘b
• 矩阵的秩
  • k阶子式
    • 一个行列式，一个数
  • 定义
    • A中有一个r阶非零子式，且所有的（r-1）阶子式都为零，则A的秩为r
    • 规定r(0)=0
  • 推论
    • r(A)小于A行数、列数中的小者
• 任意一个方阵都可以唯一地被表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和