导图社区 一元函数积分题型总结
这是一篇关于一元函数积分题型总结思维导图，包含各类被积函数不定积分的计算、各类被积函数定积分的计算、由函数方程求积分等。
这是一篇关于行列式思维导图，包含方阵的行列式、易错点、特征多项式、行列式计算、矩阵的秩等。
这是一篇关于线性方程组思维导图，包含非齐次线性方程组、齐次线性方程组、增广矩阵、初等变换等。
这是一篇关于矩阵的思维导图，包含矩阵及相关的概念、矩阵的运算与法则、重要定理等。希望对你有所帮助！
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一元函数积分题型总结
有关原函数与定积分概念的命题
积分值的比较或积分值符号的判断
保持积分限相同，比较被积函数
保持被积函数相同，根据被积函数特性比较积分限
估计积分值
常见的不等式
有关原函数的存在性问题
第一类间断点或无穷型间断点
不存在原函数
振荡间断点
需要具体分析判断
变限积分虽然肯定是连续的，但不是原函数
关键点
求分段函数的原函数
连续拼接法
变限积分法
各类被积函数不定积分的计算
换元积分法
第一换元积分法（凑微分法）
常见的凑微分法
待定系数法+赋值法把真分式分解为多个分式之和
第二换元积分法
分部积分法（反对幂指三）
有理函数不定积分的计算
假分式
化为多项式+真分式
真分式
能因式分解
待定系数法+赋值法，转为多个分式之和
不能因式分解
分子为常数
配方法+凑微分法
分子不为常数
分子拆成：分母的原函数+常数
分式分解的基本原则
Tips
三角有理函数不定积分的计算
然后列出方程组，解出AB的值
只有cos或者sinx也可以用
当三角函数角度不统一时，一般先统一角度
常用变量替换
三角替换
在定积分中，看积分上下限，如果大于0的话就不用下面的讨论了
然后将原表达式x和du进行修改
幂函数替换
指数函数替换
例3.13
倒替换
各类被积函数定积分的计算
定积分的常规计算
看上面不定积分的计算
分段函数求定积分
弄清积分限与分段函数的分界点之间的关键位置关系，以便对定积分进行正确分段
被积函数是分段的，也要用分段积分法求定积分
被积函数中有绝对值，要去掉绝对值化为不含绝对值的分段函数进行计算
被积函数在积分限内有不可取的点，也要进行分段积分，并取间断点的左右极限进行计算
积分完要留意一下！！！！
变换保持区间计算定积分
分部积分法计算定积分
变限积分的相关积分计算
结论带有导数，考虑用分部积分
技巧Tips
注意奇偶性
利用周期性
拆成n块小段计算
二重积分 + 交换积分次序
若f(x)的原函数容易求得，则用分部积分法
由函数方程求积分
只是算出f(x)，还要代入积分号计算
分部积分法，消去导数
分部积分法，消去变限积分中的x
广义积分的计算
判别法+反常积分的牛顿莱布尼兹公式
判别法
无穷区间的广义积分判别法
无界函数的广义积分判别法
极限存在或换元消去
反常积分的牛顿莱布尼兹公式
反常积分的运算法则
成立的条件是要留意！！！
证明积分等式
变量替换法
根据被积函数或两端的积分上下限确定所作代换
积分上下限都为无穷，变量替换应该考虑0+,0-的情况
分部积分法
这种情况这样处理
诸如微分学应用出现的方法类似
若积分区间相同
若不同
则进行构建
若其中一边的积分上下限为[0, 1]
证明积分不等式
f(x)为连续函数
利用定积分的一些基本性质、特殊性质解决问题
若一项为定积分，另一项不含定积分
化成都含有定积分
化成都不含有积分（积分中值定理）
构造辅助函数
中值定理法
f(x)为周期函数
采用周期函数的两个特有性质求解
f(x)在[a, b]上一阶可导
积分号无导数
积分号有导数
将不带导数的积分表达式移到左边，计算计算推导出右边
两个一阶导数表达式相等
导函数的介值定理
出现至少三个点
拉格朗日
高阶导数
可以用分部积分+积分估计
定积分区间和前面的常数为倒数时
用积分中值定理
同乘以这个常数
关于变限积分的讨论
求变限积分的极限
求变限积分的导数
求仅积分限含参变量x的变限积分的导数
被积函数也含有变量x的变限积分的导数
换元消除x
计算定积分
与几何问题，微分问题结合
一般步骤
将积分限中的字母从被积表达式中处理掉
对变积分限的函数求导
一元函数积分学的几何应用
平面图形的面积
直角坐标
极坐标
参数坐标
弧微分和弧长
弧微分
弧长
参数方程
旋转体体积
平面截面已知
旋转体的体积
绕x轴旋转
绕y=a旋转
绕y轴旋转
绕x=a旋转
旋转面的侧面积
平面曲线的曲率
曲率的计算公式
曲率半径
圆的曲率半径就是圆的半径
常用的特殊曲线
一元函数积分学的物理应用
利用定积分求液体静压力
dx主要参与面积的微分，积分的主要来源是板的相对于竖直向下的x轴的区间
利用定积分求功
物体运动做功
液体全部抽出做功
积分主要来源是竖直向下的x轴，表示水面下的所有液体所占的区间
物体提出水面
当切面是矩形时，以最上面的边设置坐标轴
当切面是圆时，以圆心的水平线设置坐标轴
球顶部碰水
拉漏斗问题
利用定积分求质心（形心）
均匀密度平面图形的质心（形心）
密度为1，则下面那个实际是求面积，上面那个是面积公式加个x
转动惯量
利用定积分求引力
质点与细杆间的引力
dx主要参与表示质点的质量
细杆与细杆间的引力
圆环与质点之间的引力
圆盘与质点之间的引力
如果题意有关于引力分量被抵消，需要留意一下
题意条件
变量替换后的的dt，可以不用导出来，直接在这基础上用分部积分法！！！！
手法漂亮的一塔附图呀
这样做就不会错误地使用反常积分的分部积分法
通常是保留分母的根号
前半部分用凑微分法
后半部分用sinx换元
证明函数在区间至少有两个零点
反证法证明没有零点的情况不成立
用被积函数恒正或者恒负积分必不等于0来证明
反证法证明一个零点（异号）的情况不成立
如果有sinx，设零点为a，利用f(x)sin(x-a)在两个区间同号这一性质，积分不等于0进行证明
很强且非常综合的题目
分部积分的作用
转换一下式子，方便看正负等
导数差一阶
含有变限积分
