导图社区 二次型思维导图
这是一篇关于二次型思维导图，知识总结，包含知识结构、题目条件、题型总结等。希望对你学习有所帮助！
这是一篇关于行列式思维导图，包含方阵的行列式、易错点、特征多项式、行列式计算、矩阵的秩等。
这是一篇关于线性方程组思维导图，包含非齐次线性方程组、齐次线性方程组、增广矩阵、初等变换等。
这是一篇关于矩阵的思维导图，包含矩阵及相关的概念、矩阵的运算与法则、重要定理等。希望对你有所帮助！
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第14章DNA的生物合成读书笔记
二次型
知识结构
基本概念
定义
见课本
类型
二次型的系数都是实数
标准形
混合项系数全是0(非对角线系数)
规范性
平方项的系数为1,0,-1
，A为二次型的矩阵，且A为对称矩阵
，二次型的秩 = 二次型矩阵的秩 = 正负惯性指数之和
正负惯性指数
正惯性指数
标准形中，正平方项的个数p
负惯性指数
标准形中，负平方项个数q
求正负惯性指数的方法
特征值法
观察特征值正负个数
配方法(上三角)
观察配方后方程系数正负个数
坐标变换
其中C是可逆矩阵，行列式不为0(注意)
坐标变换后，正负惯性指数不变（惯性定理）
合同变换
C为可逆矩阵
证明过程
标准化
坐标变换二次型矩阵是合同的
若C是正交矩阵，则有
即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同还相似
因此用特征值的方法求解方程，要施密特正交化
和此定理联系，可得实对称矩阵，若C是正交矩阵，则相似于对角矩阵
任何的实对称矩阵A，都可合同于对角矩阵
等价于任何的二次型都可以标准化和规范化
标准形的系数就是实对称矩阵A的特征值
规范性就只能代表特征值的正负
标准形不唯一，而规范形唯一（由正负惯性指数决定）
化标准形的方法
配方法
一次一个字母
对于结论不是化为标准形的适合用
用配方法来配规范形衔接过渡
正交变换法
见下方题型总结
正定性
实对称矩阵A称为正定矩阵
充要条件
特征值全大于0(证明题、观察皆适用)
正惯性指数p=n
顺序主子式全大于0——有数据的矩阵可直接判断(观察)
与已知正定矩阵合同（证明题）
必要条件
证明题方法
检验A对称
证明正定
下方题型总结
题型总结
二次型基本概念
二次型的秩 = 实对称矩阵A的秩
如何根据二次型写成实对称矩阵A
正负惯性指数计算
二次型的标准形
很大程度和求特征值、特征向量题目类似
写出二次型矩阵A(可能需要预处理)
求参数
已知特征值
代入|KE - A|，求出参数（预处理）
已知规范形
规范形不存在0
特征多项式求得的参数排序，判断区间范围
规范形存在0
特征多项式求得的参数排序，最小的那个等于0
已知标准形
迹相等
行列式相等
特征值相等（较麻烦）
求矩阵A的特征值
求矩阵A的特征向量
不同特征值的特征向量必相互正交
内积为0
齐次方程
求特征向量
改造特征向量
无重根——单位化
有重根
正交——单位化
不正交——施密特正交化
含三个平方项
不含或少于2个平方项
先观察含有哪两项的乘积(以x1 x2举例)
二次型的正定性
判断有数据的矩阵是否正定
带参数，求参数范围
顺序主子式
证明A是正定矩阵
特征值全大于0，用已知条件的正定矩阵推导
用与E合同
推导出
用定义，坐标变换
常配合
用与已知的正定矩阵合同
有相同的正负惯性指数
矩阵的等价、相似、合同
A与B等价条件
A经过初等变换得到B
PAQ=B，其中P、Q可逆
r(A) = r(B)，关键靠这个判断
A与B相似
证明A和B相似
A和B均可相似对角化且特征值相等
实对称矩阵有重根，也能相似对角化
实对称矩阵必定相似对角化，只需证特征值相同
证明A和B不相似
特征值不同
秩不相等
行列式不相等
A相似对角化，而B却不能相似对角化
A和B合同
特征值正负个数相同
行列式同号
秩相等
与同一个实对称矩阵合同
题目条件
经正交变换，标准形为
实对称矩阵A特征值为：a, b, c
用特征值构成对角矩阵，相似对角化性质(实对称矩阵必相似对角化)
迹相等、行列式相等、特征值相等
规范形为
特征值为+, +, 0或 +, +, -
A的各行元素之和为3 + r(A)=1
有特征值为3, 0, 0，3的特征向量为[1, 1, 1]
入=K是特征值
A满足
特征值为0或2
a1是齐次线性方程组Ax=0的基础解系
n-r(A)=1, A的秩为2
存在非0的解，0是特征值，a1是对应的特征向量
A是正定矩阵
B是反对称矩阵
A和B皆为可逆矩阵
A和B等价
A是是实对称矩阵且是满秩矩阵
A的特征值都是非零常数
特征值不全为正，不能保证正定性
二次型标准形相同
正负惯性指数相同
矩阵A和对角矩阵合同
A是实对称矩阵
特征值相等(1800 13题)
推不出正负惯性指数相等，矩阵合同，因为不一定是标准形
对角线上元素之和为3
题意解出两个特征值后，用此条件算出剩下一个(特征值的和=主对角线系数和)
r(E+A)<=1
|-E-A|=0且n-r(E+A)>=2
-1为A的特征值，且不低于二重
求包含A的行列式
通常为求特征值，在用行列式等于特征值乘积求得
AB=O
B行列式=0，则三个列向量相关，但其中有两个列向量是线性无关的
则特征值0的线性无关的特征向量有两个，说明其为二重根（然后取两个无关的就好了）
常配合条件，解出另一个特征值，如迹=多少
题意给出f(x1,x2,x3)=0，求X
给出Q和标准形
要能联想到，Q的列向量就是特征值的特征向量(去掉施密特正交化的影响)
二次型变为标准型后，矩阵相似
证明过程：特征值相等=>标准形相同=>正负惯性指数相等=>合同
