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导数题型总结
这是一篇关于导数题型总结的思维导图，知识点总结，包含题型总结、题意条件联系、一元函数导数概念的应用等。
编辑于2023-11-07 11:38:26- 导数
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导数
题型总结
有关一元函数的导数与微分概念的命题
利用函数定义研究函数在一点的可导性时，有以下三个条件
保两侧
如1-cosx就不行
不能跨
除非题意指明导数存在
阶相同
x=a处可导函数加绝对值后的可导性
若f(a)不等于0
|f(x)|在x=a处可导
充分必要条件
若f(a)=0
|f(x)|在x=a处可导
充分必要条件
|f(x)|在x=a处不可导
两一元函数乘积的可导性讨论
可用来求一点可导性
求各类一元函数的导数与微分
求函数一点的导数
直接定义法
初等函数的导数与微分
对数求导法
对数求导法求连乘积的导数或微分常常是方便的
复合函数在指定点处的导数
求导后可能有些点不能取，要用定义求
对数求导法
对数求导法求连乘积的导数或微分常常是方便的
反函数的导数
代入值的时候，留意是x还是y！！！！！
若给出y的值，回去代入得x的值在代入
由参数式确定的函数的导数
算的过程一定注意有些地方用表达式代入！！！！！
由方程式F(x, y)=0确定的一元隐函数y=y(x)的导数与微分
两边同时对x求导
在求导过程中，始终把另一变量(如y)视为x的函数
Tips
求导过程尽量化简结果，特别是求二阶导数时
若题意是求一点处的导数
先代入x=a，求得y
算完一阶导数表达式后代入x和y的值
一元分段函数的可导性及导函数的连续性等命题的讨论
间断点处导数的求解方法
做这一类题目，先证明函数在分界点连续，方便后面计算
按定义求分界点处的导数或左右导数
按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数
左右表达式皆可取x0，则x0的左右表达式的求导法则在x0的取值就等于该点导数值
前提是，左右表达式求完导数后仍然能在x0处取值！！
分界点是连续点时，求导函数在分界点处的极限值或左、右极限值
分界点连续（由极限得到，往往是不可直接取），导函数在x0的极限值等于该点导数值
适合题意要求证F'(x)连续性
因为算完自带连续性！减少了步骤
一边是直接取，一边是得算极限
解题思路
求F(x)是否连续
如果是型1，直接证明f(x)极限等于函数值
如果是型2，则证明左右极限相等且等于函数值
如果是型2，则证明左右极限相等
求F(x)的导数
当x不等于a时
直接洛必达
当x=a时
使用上面的方法
导函数是否连续
若用定义法算的导数表达式
若用法三算的导数表达式
自带导数连续属性
x=a处可导性
F(x)在x=a处连续+极限存在
解题步骤
算函数F(x)在x=a处连续！！
极限法
若左右表达式可取a，直接带入看是否相等
分断点两边直接洛必达
观察求导后的表达式是否有新的间断点
分断点导数依据情况使用法一，法二，法三进行求得
若是导完之后可以直接代入x，就用法二
若是导完之后不可以代入
若题意还要求讨论f'(x)连续性，直接用法三！！！
若没什么特殊要求，法一法三都可
若题意还要求讨论f'(x)的连续性
若用定义法算的导数表达式
若用法三算的导数表达式
自带导数连续属性
求一点的连续性及可导性
直接算可导性，如果一点可导则必然可连续
很好的示例
第一问用了法三和法二
第二问用了定义法和法二
Tips
型一适合定义法！！！
型二型三视情况
若x不是不可取的点，可能法二合适
若x是分母之类不可取点，可能法三法一合适
一元函数求导与求微分的综合题
注意表达式是关于谁的函数，求完导表达式只能存在谁！！！
求一元函数的n阶导数
归纳法
先依次求出y=f(x)的前几阶导数的表达式，由此观察出规律性（有时还需适当变形）
适合未给出函数表达式的题目
要把题目给出的条件带回去！！！！！！！
利用简单的初等函数的n阶导数公式
分解法
通过恒等变形将要求n阶导数的函数分解成上述简单初等函数之和
分类
有理函数与无理函数的分解
三角函数的分解
利用三角函数恒等式及有关公式
莱布尼兹法则求乘积的n阶导数
用上面的方法算完再代入
若上面方法算不出，用泰勒公式
Tips
一元函数导数概念的应用
平面曲线的切线和法线
用显式方程表示的平面曲线
切线方程
法线方程
当导数无穷时，切线方程为x=x0
给出的点没有在切线上
用参数方程表示的平面曲线
切线方程
法线方程
用极坐标方程表示的平面曲线
转换为参数方程，再使用上面公式
用隐式方程表示的平面曲线
平面曲线的曲率
见积分学
用导数描述某些物理量
题意条件联系
条件给出二阶
考虑拐点选项
题目条件有n阶导数连续
可以洛到n阶
n阶f(x)在x=a处有邻域，x邻域内有n阶导数
最高洛到n-1阶
一定得根据间断点再用定义法求间断点导数
记一下