微分中值定理题型总结

这是一篇关于微分中值定理题型总结思维导图，包含函数的零点或方程根的个数问题、函数的单调性与极值、渐近线等。

微分中值定理题型总结

题型总结

有三点

用积分中值定理（推广形式）

罗尔定理

待证结论中只有一个中值，不含其他字母

还原法

直接看出辅助函数

右端移到左边，若左端为某个函数的导数，则验证F(x)满足罗尔的条件

构造辅助函数

分组构造法

直接看出辅助函数

凑微法

双层级罗尔定理

由于缺少两点相等，结论可能无法直接一步求出

构造一个中间的辅助函数，其导数为下一层辅助函数的一部分！！！！！

关于a和b的式子不对等

凑微法

结论中含两个或两个以上中值的问题

找出三个点，两次使用L

先将复杂项取出

观察复杂项

若是某函数的导数，则使用L

若是两函数导数之商，则使用柯西

结论中有b-a，很可能是一次L一次柯西

结论中没有b-a，很可能是两次L，也可能是两次柯西

用到的公式

Notes

一般会使用泰勒公式展开，相加减然后使用导数定义求解

拉格朗日中值定理的两种惯性思维

出现f(b)-f(a)

出现三点

出现f(x)与f'(x)的关系式

也有可能使用牛顿莱布尼兹公式

泰勒公式的常规证明问题

判断依据

与一阶导数相关的点

题意条件在区间内部的特殊点

函数极值点

区间中点

其它

与函数值相关的点

区间的端点

其它

展开后常需要相加减，需根据题意条件判断

二阶导数保号性问题

不等式证明

利用中值定理证明不等式

出现f，f'

不等式一边往往剩下常数，需要利用最值证明不等式

利用单调性证明不等式

全移到左边

利用导数和一点导数值

两两组队，一层一层往下回去推导（经典汤家凤做法）

直接泰勒

利用最值证明不等式

不等式一边出现常数时

证明最大值比M还小，证明最小值比m还小

利用凹凸性证明不等式

可得f(x)<0

有时候f''(x)>0要自己算出来

证明过程

利用定积分性质

引进辅助函数把证明常值不等式转化为证明函数不等式

左边除以右边

利用变限积分转化为利用柯西中值定理

常用于积分的证明问题

函数的零点或方程根的个数问题

可使用推广形式：在无穷区间上使用极限

左右极限存在，但正负性相反

左右极限分别为正无穷、负无穷

算出是无穷时的情况，不能直接继续，要用一点代替无穷的点

常用泰勒公式求极限计算趋近于无穷的f值

极限保号性

因为可能是斜着下来的一条线

单调性方法

给出y=f(x)

求导数为0根及不可导点，求出f(x)的极值点与极值

求出y=f(x)定义域两侧的变化趋势，从而求出零点个数

题意未给出明确表达式时，求无穷时函数值用泰勒公式+f''(x)>0

用单调可证明出零点是唯一的，常用于题意求恰有几个零点

零点个数随参数而变化

随参数变化导致极值点和坐标轴交点个数发生变化

随参数变化导致区间端点的取值或极限值趋向发生变化，进而导致极值点和坐标轴交点个数变化

Tips:

当方程含有未知数时，移项前看看能不能弄好酸一点

最好画个图

利用函数的最大值最小值在区间内部证明导函数至少存在一个或两个零点

导函数介值定理

结论表明：无论导函数是否连续，中间值定理对于导函数必成立

常用的推论

一阶也有同样的结论

适当选择恒正函数相乘，使用费马定理或罗尔定理证明零点存在性

函数的单调性与极值、渐近线

渐近线求法

水平渐近线

铅直渐近线

斜渐近线

斜渐近线存在时，水平渐近线也可能存在

当斜是趋向于正无穷，水平是趋向于负无穷

极值求法

写出f(x)的定义域范围

求出f(x)的驻点及不可导点(导数为0和不存在)

考察这些点两侧附件f‘(x)的符号

由极限第一充分判别定理得出结论

当二阶导数好求时

用极值第二充分判别定理得出结论

扩展：隐函数的情况

两边同时求导

令导数=0，求出x与y的关系式，代入原函数得出x和y的值

因为导函数带有y，无法观察x=0的点左右正负号，因此求二阶导数，代入x y y‘的值，看正负

用极限第二充分判别定理得出结论

单调性求法

写出f(x)的定义域范围

求出f(x)的驻点及不可导点(导数为0和不存在)

由小到大将定义域分成若干互不相交的子区间

讨论f'(x)在每个子区间内的符号

一元函数的最值问题

函数型的最值问题

求极值

唯一的极值就是最值

对比极值和边界点的大小

只有极大值，则极小值必定在两个区间点上

若是区间[a,b]，直接代入或求极限算出

应用型的最值问题

把实际问题提成最值问题

必要时为简化计算考虑它的等价问题

如带根号的开个平方等

取分母单独计算，颠倒最小最大值问题

去除不涉及变量的子式

求导解最值问题

题意条件

出现f(a)=bf(c)+df(e)

介值定理

原理是极限的保号性，对其中一个导数用定义展开就可以得到了

证明函数恒等于0

利用最大值M

找函数值为0的点，与a、b两点用拉格朗日，然后加绝对值取小于等于号，然后两式相加

常用泰勒公式

若x未知且题意要求绝对值

相加减，然后对比大小来分类讨论

若x已知

两个泰勒公式不相加减，直接按区间划分来分类讨论

两次L+一次L

结论中含有几阶导数，泰勒就开到几阶！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

确定使用泰勒公式，然后一定得看结论是几阶

没有出现一阶导数

高阶导数也有介值定理！

试着对泰勒公式两边积分，将原问题进行转化

证明函数有且只有一个零点或根的时候

求函数零点的两个很好的例子

断点为0 1，结论中含有a b，且是双中值问题

若题意出现一阶和二阶导数都等于0，这时候要有意识用泰勒公式

出现多个f(表达式)的加减不等式，且题意给出二阶导数大于0

用泰勒公式，视不等号的方向进行选择x和x0

两边同除以x，算微分方程，求出f(x)