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高等数学复习数学三

这是一篇关于高等数学复习数学三思维导图，汇总了函数、极限、连续、无穷级数、多元函数微积分学等知识点。

编辑于2023-11-12 21:24:28

函数、极限、连续
微积分学

晚风下午吹

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# 数三：高等数学

#第一章、函数、极限、连续

## 一、极限的概念与性质

极限的概念：函数在某一点处的极限，表示函数在该点附近的变化趋势

极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、保序性、夹逼准则

## 二、极限的存在性的判别（极限存在的两个准则）

单调有界准则：单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则函数在该区间上有极限

夹逼准则：如果函数f(x)和g(x)在区间I上连续，且f(x)≤g(x)≤f(x)，则f(x)和g(x)在区间I上的极限存在且相等

## 三、求极限的方法

直接代入法：当x→a时，f(x)的极限为A，则f(a) = A

洛必达法则：适用于0/0型和∞/∞型未定式

泰勒公式：适用于求函数在某点处的极限

利用连续性求极限：若f(x)在x0处连续，且f(x0)存在，则f(x)在x0处的极限为f(x0)

## 四、无穷小及其比较

无穷小的概念：当x→a时，f(x)的极限为0，则称f(x)为x→a时的无穷小

无穷小的比较：若f(x)和g(x)均为x→a时的无穷小，且lim(x→a) f(x)/g(x) = L，则称f(x)和g(x)为同阶无穷小

## 五、函数的连续性及其判断

连续的概念：如果函数f(x)在点x0处有定义，且lim(x→x0) f(x) = f(x0)，则称f(x)在点x0处连续

判断函数连续的方法：利用极限的性质、连续函数的性质、导数的定义等

## 六、连续函数的性质

连续函数的局部有界性：如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上有界

连续函数的保号性：如果函数f(x)在区间I上连续，且f(x)≥0，则存在x0∈I，使得f(x0) > 0

连续函数的保序性：如果函数f(x)和g(x)在区间I上连续，且f(x)≤g(x)，则存在x0∈I，使得f(x0)≤g(x0)

## 常考题型及其解题方法与技巧

极限的计算：直接代入法、洛必达法则、泰勒公式等

连续性的判断：利用极限的性质、连续函数的性质、导数的定义等

求函数在某点处的极限：直接代入法、洛必达法则、泰勒公式等

求函数在某点处的导数：直接求导、求导公式、导数的定义等

# 第二章一元函数微分学

## 一、一元函数的导数与微分

导数的概念：函数f(x)在点x0处的导数，表示函数在该点附近的变化率

微分的概念：函数f(x)在点x0处的微分，表示函数在该点附近的线性主部

## 二、按定义求导数及其适用的情形

导数的定义：lim(x→x0) [f(x) f(x0)]/x x0

适用情形：适用于求分段函数、复合函数、高阶导数等

## 三、基本初等函数导数表、四则运算法则、复合函数求导

基本初等函数导数表：包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等

四则运算法则：适用于加减乘除四则运算的导数计算

复合函数求导：适用于求复合函数的导数

## 四、初等函数求导法

初等函数求导法：适用于求初等函数的导数

## 五、复合函数求导法特殊函数的求导

复合函数求导法：适用于求复合函数的导数

特殊函数的求导：适用于求三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数等特殊函数的导数

## 六、分段函数求导

分段函数求导：适用于求分段函数的导数

## 七、高阶导数及n阶导数的求法

高阶导数的概念：函数f(x)在点x0处的n阶导数，表示函数在该点附近的n阶变化率

n阶导数的求法：利用高阶导数的定义、求导公式、导数的定义等

## 八、微分中值定理

微分中值定理：如果函数f(x)在区间I上连续，且f(a) = f(b)，则存在x0∈(a, b)，使得f'(x0) = 0

## 九、利用导数研究函数的性态

利用导数研究函数的单调性：如果函数f(x)在区间I上连续，且f'(x) > 0，则f(x)在区间I上单调递增；如果f'(x) < 0，则f(x)在区间I上单调递减

利用导数研究函数的极值：如果函数f(x)在区间I上连续，且f'(x) = 0，则f(x)在点x0处取得极值

## 十、微分学的几何应用与经济应用

几何应用：求曲线的切线、求曲线的法线、求曲线的拐点等

经济应用：求边际收益、求边际成本、求利润最大化等

## 十一、一元函数的最大值与最小值问题

最大值与最小值的概念：函数f(x)在区间I上的最大值与最小值，表示函数在该区间上的最大值与最小值

最大值与最小值的求法：利用导数研究函数的性态、利用微分中值定理等

## 十二、一元函数的泰勒公式

泰勒公式的概念：函数f(x)在点x0处的泰勒公式，表示函数在该点附近的幂级数展开式

泰勒公式的求法：利用泰勒公式的定义、求导公式、导数的定义等

## 十三、泰勒公式的若干应用

泰勒公式的应用：求极限、求导数、求函数在某点处的值等

## 常考题型及其解题方法与技巧

导数的计算：直接求导、求导公式、导数的定义等

微分的计算：直接求导、求导公式、导数的定义等

求函数在某点处的导数：直接求导、求导公式、导数的定义等

求函数在某点处的微分：直接求导、求导公式、导数的定义等

求函数在某点处的值：泰勒公式、洛必达法则、泰勒公式等

求函数在某点处的切线：导数的几何意义、切线方程等

求函数在某点处的法线：导数的几何意义、法线方程等

求函数在某点处的拐点：导数的几何意义、拐点定义等

求函数在某点处的极值：导数的几何意义、极值定义等

求函数在某点处的单调性：导数的几何意义、单调性定义等

求函数在某点处的凹凸性：导数的几何意义、凹凸性定义等

求函数在某点处的最大值与最小值：导数的几何意义、最大值与最小值定义等

# 第三章一元函数积分学

## 一、原函数与不定积分的概念及基本性质

原函数的概念：函数f(x)的原函数，表示函数f(x)的积分

不定积分的概念：函数f(x)的不定积分，表示函数f(x)的所有原函数

基本性质：线性性、可加性、微分性质

## 二、不定积分的计算

不定积分的计算：直接积分法、换元积分法、分部积分法等

## 三、定积分的概念与基本性质、基本定理

定积分的概念：函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，表示函数f(x)在区间[a, b]上的积分

基本性质：线性性、可加性、微分性质

基本定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在区间[a, b]上的定积分等于f(x)在区间[a, b]上的原函数在b点的值减去在a点的值

## 四、定积分的计算

定积分的计算：直接积分法、换元积分法、分部积分法等

## 五、反常积分（广义积分）

反常积分的概念：函数f(x)在区间[a, b]上的反常积分，表示函数f(x)在区间[a, b]上的积分

广义积分的概念：函数f(x)在区间[a, b]上的广义积分，表示函数f(x)在区间[a, b]上的积分

## 六、定积分的几何应用

几何应用：求面积、求弧长、求旋转体体积等

## 七、定积分的经济应用

经济应用：求边际收益、求边际成本、求利润最大化等

## 常考题型及其解题方法与技巧

不定积分的计算：直接积分法、换元积分法、分部积分法等

定积分的计算：直接积分法、换元积分法、分部积分法等

反常积分的计算：直接积分法、换元积分法、分部积分法等

定积分的几何应用：求面积、求弧长、求旋转体体积等

定积分的经济应用：求边际收益、求边际成本、求利润最大化等

# 第四章多元函数微积分学

## 一、多元函数的极限与连续性

多元函数的极限：函数f(x, y)在点(x0, y0)处的极限，表示函数在该点附近的变化趋势

多元函数的连续性：如果函数f(x, y)在点(x0, y0)处有定义，且lim(x→x0, y→y0) f(x, y) = f(x0, y0)，则称f(x, y)在点(x0, y0)处连续

## 二、多元函数的偏导数与全微分

偏导数的概念：函数f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数，表示函数在该点附近的x方向的变化率

全微分的概念：函数f(x, y)在点(x0, y0)处的全微分，表示函数在该点附近的线性主部

## 三、多元函数微分法则

微分法则：如果函数f(x, y)在点(x0, y0)处可微，且∂f/∂x(x0, y0) = A，∂f/∂y(x0, y0) = B，则f(x, y)在点(x0, y0)处的全微分等于A(x x0) + B(y y0)

## 四、多元函数的极值问题

极值问题的概念：求函数f(x, y)在区域D上的最大值与最小值

极值问题的求解方法：利用偏导数研究函数的性态、利用拉格朗日乘数法等

## 五、多元函数的最大值与最小值问题

最大值与最小值的概念：函数f(x, y)在区域D上的最大值与最小值，表示函数在该区域上的最大值与最小值

最大值与最小值的求法：利用偏导数研究函数的性态、利用拉格朗日乘数法等

## 常考题型及其解题方法与技巧

多元函数的极限计算：直接求极限、利用极限的性质等

多元函数的连续性判断：利用极限的性质、连续函数的性质、偏导数的定义等

多元函数的偏导数计算：直接求导、求导公式、偏导数的定义等

多元函数的全微分计算：直接求导、求导公式、全微分的定义等

多元函数的极值问题求解：利用偏导数研究函数的性态、利用拉格朗日乘数法等

多元函数的最大值与最小值问题求解：利用偏导数研究函数的性态、利用拉格朗日乘数法等

# 第五章无穷级数

## 一、常数项级数的概念与基本性质

常数项级数的概念：函数f(x)在点x0处的常数项级数，表示函数在该点附近的幂级数展开式

基本性质：唯一性、局部有界性、保号性、保序性、夹逼准则

## 二、正项级数敛散性的判定

正项级数的概念：函数f(x)在点x0处的正项级数，表示函数在该点附近的幂级数展开式

敛散性的判定：比较判别法、比值判别法、根式判别法等

## 三、交错级数的敛散性判别法

敛散性判别法：莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法等

## 四、绝对收敛与条件收敛

绝对收敛的概念函数：f(x)在点x0处的绝对收敛，表示函数在该点附近的幂级数展开式

## 五、幂级数的收敛域

收敛域的概念：函数f(x)在点x0处的收敛域，表示函数在该点附近的幂级数展开式

## 六、幂级数的运算与和函数的性质

幂级数的运算：加法、乘法、求导、积分等

和函数的性质：连续性、可导性、可积性等

## 七、函数的幂级数展开式

幂级数展开式的概念：函数f(x)在点x0处的幂级数展开式，表示函数在该点附近的幂级数展开式

幂级数展开式的求法：利用幂级数展开式的定义、求导公式、幂级数的性质等

## 常考题型及其解题方法与技巧

常数项级数的敛散性判定：比较判别法、比值判别法、根式判别法等

正项级数的敛散性判定：比较判别法、比值判别法、根式判别法等

交错级数的敛散性判别法：莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法等

幂级数的收敛域求法：利用幂级数展开式的定义、求导公式、幂级数的性质等

幂级数的运算：加法、乘法、求导、积分等

函数的幂级数展开式求法：利用幂级数展开式的定义、求导公式、幂级数的性质等

# 第六章常微分方程与差分方程

## 一、基本概念

常微分方程的概念：函数f(x, y)在点(x0, y0)处的常微分方程，表示函数在该点附近的线性主部

差分方程的概念：函数f(x, y)在点(x0, y0)处的差分方程，表示函数在该点附近的线性主部

## 二、一阶微分方程

一阶微分方程的概念：函数f(x, y)在点(x0, y0)处的一阶微分方程，表示函数在该点附近的线性主部

一阶微分方程的求解方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法等

## 三、含变限积分的

方程含变限积分的方程的概念：函数f(x, y)在点(x0, y0)处的含变限积分的方程，表示函数在该点附近的线性主部

含变限积分的方程的求解方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法等

## 四、线性微分方程解的性质与结构

线性微分方程解的性质：唯一性、局部有界性、保号性、保序性、夹逼准则

线性微分方程解的结构：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程、常微分方程等

## 五、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的概念：函数f(x, y)在点(x0, y0)处的二阶常系数齐次线性微分方程，表示函数在该点附近的线性主部

二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法：特征方程法、待定系数法等

## 常考题型及其解题方法与技巧

一阶微分方程的求解：直接积分法、换元积分法、分部积分法等

含变限积分的方程的求解：直接积分法、换元积分法、分部积分法等

二阶常系数齐次线性微分方程的求解：特征方程法、

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