理论力学-静力学

静力学(statics)是理论力学的一个分支，研究质点系受力作用时的平衡规律。伐里农1725年引入的。静力学也可应用于动力学。借助于达朗伯原理，可将动力学问题化为静力学问题的形式。静力学在工程技术中有广泛的应用。例如设计房梁的截面，一般须先根据平衡条件由粱所受的规定载荷求出未知的约束力，然后再进行梁的强度和刚度分析。

静力学

• 静力学公理与物体的受力分析
  • 静力学基本概念
    • 刚体：在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体
    • 力（定位矢量）：物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化
      • 运动效应/外效应：力使物体的运动状态发生改变的效应
      • 变形效应/内效应：力使物体产生形变的效应
      • 力的三要素：大小，方向，作用点
        • 作用于该点的力称为集中力，过力作用点的方位线称为力的作用线，当力的作用范围不能抽象化为点时为分布力
  • 静力学公理
    • 公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：这两个力的大小相等，方向相反且在同一条直线上
    • 公理2 加减平衡力系公理：在作用于刚体上的任意力系上添加或减去任何平衡力系，并不改变原力系对于刚体的作用效应（平衡力系均不能改变刚体的运动状态）
    • 推论1 力的可传性（滑动矢量）：作用于刚体某点的力，可以沿其作用线移至同一刚体内任意一点，而不改变它对于刚体的作用效应（作用于刚体上力的三要素：大小，方向，作用线）
    • 公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。和力作用点也在该点，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定
    • 推论2 三力平衡汇交定理：刚体受三力作用而平衡时，若其中任意两个力的作用线汇交于一点，则余下的另一个力的作用线也必汇交于同一点，且这三个力的作用线在同一平面内
    • 公理4 作用与反作用定律：两物体间的相互作用力和反作用力总是同时存在，且大小相等，方向相反，作用线重合，分别作用在两个物体上
    • 公理5 刚化原理：变形体在力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，其平衡状态不变
  • 约束力和约束反力
    • 概念
      • 自由体：在空间自由运动而获得任意位移的物体
      • 非自由体：位移受到某些限制的物体
      • 约束/约束体：对非自由体的某些位移预先施加的限制条件或构成限制条件的周围物体
      • 约束反作用力/约束反力：约束产生的与物体运动方向相反的反作用力，总是与非自由体运动方向相反，总是被动的（《=》主动力：约束反力以外的力）
    • 分类
      • 光滑接触面约束：约束反力作用在接触点外，沿接触面在该点的公法线，并为压力（指向物体）（滚动支座，活动铰支座）
      • 柔性体约束：柔软而只能承受拉力的索状物（柔索），约束力只能沿着柔索的拉力（背离物体）且作用在接触点和假想截割处
      • 光滑圆柱铰链约束
        • 圆柱形铰链和固定铰支座：约束反力是过铰链中心，方向待定的压力（通常用两个正交分力XA和YA表示）
        • 向心轴承：过轴心，方向待定的压力
      • 固定端约束：可用一对正交分力和正交力偶来表示
  • 物体的受力分析与受力图
    • 1，选择研究对象，单独画出分离体图
    • 2，画出分离体所受全部主动力
    • 3，在研究对象原来存在约束的地方（与其他物体相联系或接触）按照约束类型逐一画出全部约束反力
• 平面特殊力系
  • 平面汇交力系：各力的作用线位于同一平面内且汇交于一点的力系
    • 几何法
      • 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力矢等于原力系中所有各力的矢量和，可由力多边形的封闭边来表示
      • 平面汇交力系平衡的必要与充分的条件：力系中各力的矢量和等于零或力多边形自行封闭
    • 解析法
      • 力在坐标轴上的投影：X＝Fcosa，Y=Fsina，F=Fx+Fy=Xi+Yj
      • 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和
      • 平面汇交力系平衡的必要与充分的条件：力系中所有各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零
      • 》平面汇交力系的平衡方程
        • åX=0
        • åY=0
  • 平面力偶系：由若干个作用面共面的力偶组成的力偶系
    • 力对点的矩
      • 公式：力F对点O的矩：mo(F)=±Fd，O为矩心，d为力臂，mo(F)=±2SDOAB
      • 概念：力对点的矩是一代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按如下方法确定：力使物体逆时针方向转动时为正，反之为负
      • 性质：
        • 1，力F对于O点的力矩不仅取决于F的大小，同时还与矩心的位置有关。矩心位置不同，力矩随之而异
        • 2，力F对于任一点的矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变（力及力臂的大小均未改变）
        • 3，力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零
        • 4，互成平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零
    • 合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩等于力系中所有各分力对于同一点的矩的代数和
    • 平面力偶理论
      • 两个平行力的合成
        • 两平行力合力对平面内任一点的矩等于该两力对同一点矩的代数和
        • 两同向平行力的合力：大小等于两分力之和，方向与分力相同。合力作用线内分两分力作用线间的任意线段，内分比与两分力大小成反比
        • 两反向平行力的合力：大小等于两分力之差，方向与大分力相同。合力作用线外分两分力作用线间任意线段，外分比与两分力大小成反比
      • 力偶：把两个大小相等，方向相反但不共线的平行力作为一个整体
        • 力偶臂：两力作用线之间的垂直距离d
        • 力偶作用面：两力作用线决定的平面
        • 力偶对刚体只产生转动效应
      • 力偶性质及推论
        • 性质1 力偶没有合力，既不能用一个力代替，也不能与一个力平衡，本身又不平衡，是一个力学基本量
        • 性质2 力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与其矩心的位置无关。因此力偶对刚体的效应用力偶矩mo(F)度量
        • 性质3 平面力偶的等效定理：在同一平面内的两个力偶，只要其力偶矩（包括大小和转向）相等，则此两个力偶彼此等效
        • 推论1 力偶可以在其作用面内任意转移，而不影响它对刚体的效应
        • 推论2 只要力偶保持不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不改变它对刚体的效应
      • 平面力偶系：作用在刚体同一平面内的许多力偶
        • 合成：平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶等于原力偶系中各力偶的力偶矩的代数和，即m=åmi
        • 平衡：平面力偶系平衡的必要与充分条件为：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和为零，即åmi=0
        • 》平面力偶系的平衡方程
          • åmi=0
  • 平面平行力系：各力的作用线位于同一平面内且相互平行的力系
    • 合成：对于一个平面平行力系，如果力系中各力的代数和
      • 不等于零（åFi¹0）,则合成结果是一个合力（作用线与分力平行，作用线位置根据合力矩定理确定，大小和方向由分力确定）
      • 等于零（åFi¹0），合成结果是一个合力偶，合力偶矩等于原力系中各力对平面内任一点矩的代数和
    • 平衡：必要与充分条件：力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点矩的代数和也等于零，即
    • 》平面平行力系的平衡方程
      • 一矩式
        • åFi=åYi=0
        • åmo(Fi)=0
      • 二矩式
        • åmA(Fi)=0
        • åmB(Fi)=0
• 平面一般力系（平面任意力系）：力的作用线在同一平面内，且既不汇交于一点又不相互平行的力系
  • 力线平移定理：作用在刚体上A点的力F，可以平行移动到同一刚体内的任一指定点B，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原力F对指定点B的矩
  • 平面一般力系向一点简化：平面一般力系向作用面内任一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶。///该力作用于简化中心，其力矢等于原力系中各力的矢量和，即等于原力系的【主矢】（与简化中心的位置无关）。///该力偶在原力系作用面内，其矩等于原力系中各力对简化中心的矩的代数和，即等于原力系对简化中心的【主矩】（与简化中心的位置有关）
  • 平面一般力系的简化结果
    • 主矢 主矩
    • R=0，Mo=0，平衡力系
    • R=0，Mo¹0，为合力偶Mo
    • R¹0，Mo=0，为合力R
    • R¹0，Mo¹0，力系简化情况
      • 合力矩定理：平面一般力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和
  • 》平面一般力系的平衡条件与平衡方程
    • 必要与充分条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都为零
    • 一矩式
      • åX=0
      • åY=0
      • åmo(F)=0
    • 二矩式
      • åX=0
      • åmA(F)=0
      • åmB(F)=0
      • A与B两点的连线不垂直于x轴
    • 三矩式
      • åmA(F)=0
      • åmB(F)=0
      • åmC(F)=0
      • A,B,C三点不共线
  • 物体系统的平衡
  • 静定与不静定
    • 静定问题：当物系的未知力总数少于或等于独立平衡方程数时，所有未知量都能由平衡方程求得
    • 静不定/超静定问题：结构的未知量数目多于独立平衡方程数，未知量不能全部由平衡方程求得
  • 平面简单洐架的内力分析
    • 节点法
      • 1，先求洐架的支座反力
      • 2，分析问题，找出已知量与未知量之间的关系，明确研究路线，对路线上的点逐个进行平衡分析，解决要研究的问题
      • 3，判断杆件内力是拉力还是压力，指向节点的为压力，背离节点的为拉力
    • 截面法
      • 1，解析法求出洐架的支座反力
      • 2，假象用截面（平面或曲面）将洐架截成两部分。被截杆中，必须包含欲求内力杆，且未知内力的杆数一般不超过3个。取一部分为研究对象，画出被截杆的内力，通常设为拉力
      • 3，列出研究对象的平衡方程，通常用力矩式比较简单，求出未知力
      • 4，根据正负判断杆的内力是拉力还是压力
• 摩擦
  • 滑动摩擦
    • 静滑动摩擦力：当两物体接触面之间具有相对滑动趋势，但尚未进入滑动状态时，沿接触面相互产生的切向阻力，0<=F<=Fmax
    • 静滑动摩擦定律/库仑摩擦定律：Fmax=fN（Fmax最大静摩擦力，f静滑动摩擦系数【无量纲量】，N接触面间的法向约束反力）
    • 动滑动摩擦力：当两物体接触面之间具有相对滑动时，沿接触面相互产生的切向阻力，f'<f
    • 动滑动摩擦定律：F'=f'N（F'动摩擦力，f'动滑动摩擦系数【无量纲量】，N接触面间的法向约束反力）
  • 摩擦角和自锁
    • 全约束反力：支承面对物体的约束反力包括法向反力N与摩擦力F，这两个反力的矢量和R=N＋F
    • 摩擦角：全约束反力与法线间的夹角最大值jm，摩擦角的正切等于静摩擦系数tanjm=Fmax/N=fN/N=f
    • 摩擦锥：滑动趋势可以向各个方向改变，全约束反力Rmax的方位也随之改变，形成以接触点为顶点的圆锥面
    • 自锁：只要作用在物块上全部主动力的合力Q的作用线在摩擦角内，总会有一个全约束反力与之平衡，使物块静止
  • 考虑摩擦时的平衡问题
  • 滚动摩阻的概念
    • 当两物体间具有相对滚动（或趋势）时，彼此间产生的对滚子的阻碍
    • 滚动摩阻力偶矩（随主动力偶矩的大小变化）0<=M<=Mmax
    • 滚动摩阻定律Mmax=dN，（d滚动摩阻系数【具有长度的量纲】）
• 空间力系：各力的作用线分布在空间的力系
  • 空间汇交力系
    • 力在直角坐标轴上的投影与分解
      • 一次投影法（直接投影法）
        • X=Fcosa
        • Y=Fcosa
        • Z=Fcosa
      • 二次投影法（间接投影法）
        • X=Fsingcosj
        • Y=Fsingsinj
        • Z=Fcosg
      • 力沿直角坐标轴的分解
        • F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk
        • F^2=X^2+Y^2+Z^2
        • cosa=X/F，cosa=Y/F，cosa=Z/F
    • 合成：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点
    • 平衡
      • 必要和充分条件：此力系的合力为零，R=åFi=0
      • 必要和充分解析条件：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零
      • 》空间汇交力系的平衡方程
        • åXi=0
        • åYi=0
        • åZi=0
  • 空间力偶系
    • 力偶矩用矢量表示
      • 右手螺旋规则：以力偶的转向为右手螺旋的转动方向，则螺旋前进的方向就是矢量的指向
      • 空间力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢m决定，两个力偶的力偶矢相等，即m1=m2
    • 合成
      • 空间力偶系的合成是一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和，即M=m1+m2+---+mn=åmi
      • 在直角坐标轴上投影
        • Mx=m1x+m2x+---+mnx=åmix
        • My=m1y+m2y+---+mny=åmiy
        • Mz=m1z+m2z+---+mnz=åmiz
      • 解析表达式M=Mxi+Myj+mzk
      • 合力偶矩矢的大小和方向
        • M^2=Mx^2+My^2+Mz^2
        • cosa=Mx/M，cosb=My/M，cosg=Mz/M
    • 平衡
      • 空间力偶系平衡的必要和充分条件
        • 合力偶矩为零，即各分力偶矩的矢量和等于零，åm=0
        • 各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零，åmx=0，åmy=0，åmz=0
    • 力对轴的矩
      • 定义：力使刚体绕此轴转动效应的度量，它等于此力在垂直于轴的任一平面上的投影对轴与平面交点之矩
      • 数学表达式：mz(F)=mo(F)=±Fxyh=±2SDOAB
      • 正负判定：右手四指沿力的指向握轴，伸直的大拇指与轴的正方向一致时取正，反之取负
    • 力对点的矩
      • 矢量的模表示力矩转向，矢量的指向：四指蜷曲表示力矩转向，拇指表示力矩矢量的指向
      • 力对点之矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积：mo(F)=r´F
  • 空间一般力系
    • 向一点的简化
      • 空间一般力系向一点（简化中心）简化，可得一个力和一个力偶，此力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。此力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩
      • 力系的主矢在坐标轴上的投影等于力系中各力在同一轴上投影的代数和
        • R'=Rx'i+Ry'j+Rz'k=(åX)i+(åY)j+(åZ)k
        • R'^2=(åX)^2+(åY)^2+(åZ)^2
        • cos(R',i)=åX/R'，cos(R',j)=åY/R'，cos(R',k)=åZ/R'
    • 简化结果的讨论
      • 主矢 主矩
      • R'=0，Mo¹0，力系简化为一个合力偶
      • R'¹0，Mo=0，力系简化为一个合力
      • R'¹0，Mo¹0，但R'^Mo，力系简化为一个合力
        • 》空间一般力系的合力矩定理
          • mo(R)=åmo(F)，空间一般力系的合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和
          • mx(R)=åmx(F)，空间一般力系的合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和
      • R'¹0，Mo¹0，且R'与Mo并不垂直，力系简化为一个力螺旋
        • 力螺旋：由一个力和与之垂直平面内的一个力偶所组成的力系
        • 当力螺旋中力与力偶矩矢同向时称为【右螺旋】，反之【左螺旋】，力的作用线为力螺旋的中心轴
    • 平衡方程及应用
      • 空间一般力系的平衡方程
        • 必要和充分条件
          • 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零
          • 力系中各力在直角坐标系上投影的代数和以及对各轴之矩的代数和分别等于零
        • 》空间一般力系的平衡方程
          • R'=0
            • åX=0，åY=0，åZ=0
          • Mo=0
            • åmx(F)=0，åmy(F)=0，åmz(F)=0
      • 空间约束类型 p101-102图
      • 空间力系平衡问题举例
  • 平行力系的中心和物体的重心
    • 平行力系的中心：如果平行力系有合力，则合力作用线上必有一确定的点C，点C的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关，C点称为平行力系的中心
    • 重心的坐标公式
      • xc=åFx/åF，yc=åFy/åF，zc=åFz/åF
    • 确定重心的方法
      • 积分法
      • 组合法
      • 实验法（悬挂，称重）