统计学第五章假设检验

上海财经大学版统计学第五章知识梳理。所有的知识点都给大家整理出来了，方便大家备考时翻阅查看，需要重点记忆的地方已经用符号和不同颜色的字体给大家标注出来了，希望对大家备考有所帮助。

统计学 第五章

• 置信区间
  • 抽样分布
    • 分类
      • 当n/N≤5%时，有限总体不放回抽样等同于放回抽样
      • 无限总体
        • 放回
        • 不放回
        • 样本独立性和统一性
      • 有限总体
        • 放回
          • 样本独立性和同一性
        • 不放回
          • 样本独立性
    • 统计量与抽样分布
      • 样本——统计量——抽样分布
      • 统计量
        • 即样本指标
        • 分类
          • 样本均值
            • 是样本的函数，是一个统计量，是随机变量，有分布
          • 样本成数
          • 样本方差
      • 抽样分布
        • 某一统计量所有可能的样本的取值形成的分布
        • 方差的平方根即抽样分布的标准差就是 推断的抽样误差
        • 
        • 样本均值的分布
          • 总体是正态分布，则抽样分布必为正态分布
          • 总体不是正态分布，而n>=30,均值服从正态分布X~N（μ，σ^2/n)
          • 总体不是正态分布但明显对称，n>=15，均值也服从正态分布
        • 样本均值之差的分布
          • 
            • 第一个式子对应无限总体、有限放回
          • 如果总体不服从正态但样本量足够大，则也同上
        • 样本成数的分布
          • 
            • 根据中心极限定理，只要样本足够大，P 的分布就近似正态分布
        • 样本成数之差的分布
          • 
        • 样本方差的分布
          • • 卡方的期望是n-1，方差是2（n-1）
            • E(S^2)=总体的方差
            • 样本方差的常数倍服从自由度为n-1的卡方分布
            • 左边一般是不能取负的，卡方分布的取值范围是零到正无穷。指数分布是一种特殊的卡方分布
            • 为啥是n-1:由于用了由样本算出的均值，所以少了一个自由度。
  • 点估计
    • 方法
      • 数据特征法
        • 样本容量增大时 ,用样本的数字特征去估计总体的数字特征
        • 也称矩估计：用样本矩估计总体的矩（使得二者强制相等，然后解方程）
          • 例：使得样本的一阶原点矩（均值）等于总体的一阶原点矩（均值）
          • 使得样本的二阶原点矩=总体的二阶原点矩。与上一个方程联立，通过D(x)=E(x^2)-[E(x)]^2
          • 矩估计下总体方差和总体均值的样子要知道，总体均值无偏有效，总体方差右偏一致（由于是有偏的，所以不涉及有效）
      • 顺序统计量法
        • 如果把取得的样本观测值按大小排列起来，那么与排列位置有关的统计量就称为顺序统计量。常用的顺序统计量有样本中位数和极差、最小次序量、最大次序量
          • 当总体服从正态分布时, 用样本中位数来估计总体的数学期望
      • 极大似然估计
        • 根据样本观测值发生的可能性达到最大这一原则来选取未知参数的估计量θ
          • 其理论依据就是概率最大的事件最可能出现
    • 评价维度
      • 无偏性
      • 有效性
        • 两个θ都是无偏估计时，谁的方差小谁更有效
      • 一致性
      • 充分性
  • 区间估计
    • 寻找上限和下限，使得参数被包住的概率为1-α
    • 方法
    • 评价
      • 精确度
        • 区间长度的一半Δ
      • 置信度
        • 1-α
    • 
      • Sp=[(n1-1)S1^2+(n2-1)S2^2]/(n1+n2-2)
    • 
      • 两个成数的方差计算时已经用上了成数本身，因此如果两个成数不相同，不会出现两个成数的方差相同的情况。
    • 
    • 
• 假设检验
  • 先给一个假设判断 再利用数据来检验
  • 针对总体参数做的
  • 基本思想
    • 小概率原理
      • 认为小概率事件不会发生
  • 检验规则
    • 如何确定C
      • 与α有关
        • α为显著性水平 1-α为置信度
          • 当双尾检验 （H1为不等号时）
            • 当假设检验和置信区间的α相同时
            • 置信区间的概率为1-α
              • 置信区间也叫接受域
            • 尾巴处也叫拒绝域
  • 检验步骤
    • 1. 假设
      • 等号端必须要在H0中
      • 希望得出的结论放在H1里
      • 如果我们感兴趣的是μ>=240 那么H0:μ<=240,H1:μ>240
    • 2. 选择统计量，确定H0为真时的分布
      • 要与H0的那个值有关
      • μ
        • 正态总体
          • σ已知
            • Z检验
          • σ未知
            • T检验
        • 非正态总体且n>30
          • 无论σ是否已知
            • Z检验 σ已知用σ，未知用样本标准差S
              • 注意求S的时候是用n-1而不是n
        • 两正态总体均值之差检验
          • 说法：1、两个正态分布均值差是否为0 2、两个正态分布均值是否相等
          • σ1、σ2已知
            • Z检验
          • σ1、σ2未知
            • T检验
            • σ1=σ2
            • σ1不等于σ2
      • P
        • 正态分布
          • Z检验
        • 成数之差
      • • 正态分布
        • 方差的比
          • F检验
    • 3. 两数字比较
      • 临界值判断
        • 无强度还要查表
        • 给定显著性水平α求出当H0为真时的临界值
        • 计算检验统计量的数值和临界值比较
          • 双尾检验
            • H1为不等号
          • 单尾检验
            • H1为>
            • H1为<
          • 总体方差检验
            • 双尾
            • 单尾
              • H1为>
              • H1为<
          • 方差之比检验
            • 双尾
            • 单尾
              • H1为>
              • H1为<
        • 需要用到H1中的方向
          • 单侧与双侧检验
            • 单侧
              • H1为>/<号
            • 双侧
              • H1为不等于号
      • P值判断
        • P-value<α就拒绝原假设，越小越拒绝
          • 双尾
          • 单尾
            • H1为>
            • H1为<
        • P值是尾部概率
    • 4. 得出结论
      • 写成人话
        • 是否拒绝原假设，实际意义
  • 答题流程
    • 1. 判断是针对均值/成数/方差
    • 2. 写出H0和H1
    • 3. 求出统计量（Z/T...)
    • 4. 与critical value比较
    • 5. 结论（是否接受，实际意义）
  • 犯错
    • 犯错原理
      • 小概率事件可以发生
    • Type I Error
      • 拒真
        • 发生概率为α
    • Type II Error
      • 存伪
        • 发生概率为β
    • α大的时候β就小，反之亦然。在控制α的同时尽可能减少β
      • 增加样本量可以使得二者均变小