第十二章 全等三角形

人教版初中数学八年级上册第十二章《全等三角形》知识点梳理，包含：1.全等三角形（①全等形 ②全等三角形的相关概念及表示方法 ③全等三角形的性质 ④确定全等三角形对应边、对应角的方法） 2.三角形全等的判定（①三角形全等的判定方法 ②合理选择全等三角形的判定方法） 3.角的平分线的性质（①角的平分线的性质 ②角的平分线的判定）

第十二章 全等三角形

• 12.1 全等三角形
  • 全等形
    • 定义
      • 能完全重合的两个图形叫作全等图形
    • 性质
      • 两个全等图形，它们的形状、大小相同
      • 全等图形的面积相等
  • 全等三角形
    • 概念
      • 两个能完全重合的三角形叫作全等三角形
      • • 对应顶点：重合的顶点
        • 对应边：重合的边
        • 对应角：重合的角
    • 表示方法
      • △ABC和△DEF全等
        • 
        • • 记作△ABC≌△DEF
          • 读作三角形ABC全等于三角形DEF
        • • 点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点
          • AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边
          • ∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角
      • 记两个三角形全等时，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上
      • • 全等符号
          • ≌
          • 读作“全等于”
    • 性质
      • 全等三角形对应边相等，对应角相等
      • • 全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等
        • 全等三角形周长相等，面积相等
    • 确定全等三角形的对应边、对应角
      • ①公共边一定是对应边
      • ②一对最长（最短）的边一定是对应边
      • ③公共角一定是对应角
      • ④对顶角一定是对应角
      • ⑤一对最大（最小）的角一定是对应角
      • ⑥两边是对应的，则它们所对的角也一定是对应的
      • ⑦两角是对应的，则它们所对的边也是对应的
      • ⑧两条对应边所夹得角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边
      • ⑨两个三角形全等用“≌”表示，找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找
    • 全等三角形的全等变换
      • 平移全等型
      • 翻折全等型
      • 旋转全等型
• 12.2 三角形全等的判定
  • 三角形全等的判定方法
    • 边边边（SSS）
      • 三边分别相等的两个三角形全等
    • 边角边（SAS）
      • 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
    • 角边角（ASA）
      • 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
    • 角角边（AAS）
      • 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
    • 斜边、直角边（HL）
      • 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
    • • 三个条件能唯一确定三角形
  • 合理选择判定方法
    • 已知两边
      • 找夹角→边角边（SAS）
      • 找第三边→边边边（SSS）
      • 找直角→HL
    • 已知两角
      • 找夹边→角边角（ASA）
      • 找其中一个已知角的对边→角角边（AAS）
    • 已知一边一角
      • 边为角的对边→找任一角→角角边（AAS）
      • 边为角的邻边
        • 找夹角的另一边→边角边（SAS）
        • 找夹边的另一角→角边角（ASA）
        • 找边的对角→角角边（AAS）
  • 书写（全等五行）
    • 在△ABC和△DEF中
    • ①②③
    • ∵
      • ∵后面紧跟的条件需要满足，从这个∵开始往上找要能找到
        • ①已知（题干中已经给的条件）
        • ②已证（根据题干已知条件已经证明出来的结论）
        • ③已存（存在的事实与真理，比如对顶角相等，共用一条边等）
    • ∴
• 12.3 角的平分线的性质
  • 角的平分线的性质
    • 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
    • • 
      • 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F
        • PE＝PF
  • 角的平分线的判定
    • 角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上
    • • 
      • 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF
        • PD平分∠ADB
  • 角平分线的尺规作图
    • 
    • • ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E
      • ②分别以D、E为圆心，大于1/2DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C
      • ③画射线OC
        • 射线OC即为所求
  • • 三角形内心
      • 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心
      • 三角形内心到三角形三边距离相等
    • 三角形旁心
      • 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心
      • 三角形有三个旁心
    • • 所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个
    • 
      • △ABC的内心为P1，旁心为P2，P3，P4
      • 这四个点到△ABC三边所在直线距离相等