考研数学第一章极限

综合了武忠祥老师，张宇老师以及一些我自己做题（1000题，660，880）中的知识点的总结。

中心主题

第一章

第一节，函数

初等函数

幂函数

指数函数

三角函数

arcsinx与arccosx



对数函数

反三角函数

函数定义区间

常见奇函数

老是记不住

常见偶函数

奇偶性

奇函数的偶次阶导数都是0

方便用于泰勒展开和无穷小量阶比较，可排除选项中的偶次幂

不明白

偶函数的奇次阶导数都是0

若函数可导

若函数连续

偶函数的原函数不一定是奇函数

注意

周期性

可导的周期函数，其导函数为周期函数，且其周期一样

注意周期一样

周期函数的原函数，不一定是周期函数

有证明吗

有界性

判定

ˊ

闭区间连续，闭区间有界

开区间连续+端点处单侧极限存在，开区间有界

导数有限区间有界，函数开区间有界

第三条考得很少，记忆不牢

复合函数

单调性

可以理解为负负得正的关系

奇偶性

只有奇函数复合奇函数，为奇函数

而只要有偶函数，无论偶函数在内还是在外，都是偶函数

注意这个内外层的运算

复合函数内层为周期，则整体为周期

重要

注意

左取整

第二节，极限

数列极限

数列的极限是否存在，如果存在，其极限值等于多少与数列的前有限项无关

易错点



善用反证思想

有界*有界=有界



无穷大一定是无界，无界不一定是无穷大

需要分左右极限来求极限的问题

极限的性质

保号性

注意

保号性只能保去心邻域，不可保一点

局部有界性

函数有极限，函数局部有界

数列有极限，数列整体有界

保序性

与保号性一样，都只能取保在去心邻域中，而不能保某个点

极限值与无穷小的关系

针对于这层，会出一些考题，结合常微分方程来考

在多元中也可能用到

极限存在准则（用于n项和）

夹逼准则

单调有界准则

无穷小

无穷小的性质

有限个无穷小的和，是无穷小

有限个无穷小的积，是无穷小

无穷小量与有界量的积，是无穷小

k阶无穷小

考的少，盲点



注意，k阶无穷小的比值是C ，而不是1

无穷大

比较

注意

所以这个特例的本质就是无穷比无穷，因此就可牢记a>0即可

特例需牢记，常考

与无穷小比较

本章结论

第二条为什么成立

不为什么

结论补充

660，121

注意下第二点，第三点

660，123

660，125

几种常见的数列极限考题





注意

收敛=极限存在，发散=极限不存在

要证明数列收敛，通常使用单调有界准则

极限存在，说明是有界的

常用不等式

最后一条比较容易忽略

求极限

方法

先判定类型

选定方法

洛必达法则

注意

若洛之后，值为有限值A或者∞，则原式为A或∞

洛必达条件



根式有理化适用于低次方

注意是α(x)趋于0

对比

注意是α(x)趋于0

就是一个东西

有理运算法则求极限

注意，我记忆不是很牢固

混乱了

等价无穷小代换

变上限积分

有一点不理解，俩极限之比等于1，是在趋于某点的条件下，两者之比等于1

但用在积分中，却是在一个区间内，两者可以等价？

这是我的理解错误，因为此时区间也是趋于这个点的，所以可以等价

积分的等价

变上限积分求导的注意事项

第一个点比较重要，尤其是换元的思想

等价无穷小代换原则

乘除关系：无条件换

减项之比≠1，加项之比≠-1

重要，忽略点

注意，左边为x，右边为x平方，也可以换

注意，减项的原则与拆开算的原则互不干涉

重要

换的时候，可以只换其中一个

x趋于0，低阶+高阶~低阶 x趋于∞，低阶+高阶~高阶

补充

若α，β都是同一自变量变化过程下的无穷小量，且α=o(β)，则α+β~β

泰勒

泰勒的意义：将函数转化为多项式，而多项式求极限、求导、求积分都简单

展开原则

写到某一项，相减两方的同次幂系数相减不为0

若为除，展开到分子分母同阶即可

中值定理求极限

注意第三，四项

尤其是第四项

注意微分中值定理的使用前提

忽略点

1，2，3均为易错点

第一项很重要

拉格要求闭区间连续，开区间可导

忽略点，重要

中值定理的应用环境







注意第四点，常考

对数列求极限

不定式

不可直接用洛，因为n为离散，需要改变为x（扣一半分）

n项和

夹逼原理

变化部分相比主体部分，为次量级

主体部分

如分母中都有n²，不随项的变化而变化，称为主体部分

变化部分

随项的变化而变化，称为变化部分

定积分定义

变化部分与主体部分，为同量级

方法：提可爱因子（区间n等分），去除干扰，确定被积函数与积分区间

注意

分出可爱因子后，里面的被积函数的变量，应选择为1/n这一类，而不要选择2/n到4/n，否则会造成数值缺漏，难以确定区间

因为可能造成缺项

级数求和

考得较少，在无穷级数章节

难点

夹逼与定积分定义同时出现，通常分母夹逼，分子定积分

先处理分母，夹逼

再对分子，定积分定义

偏难，需要例题练习

n项连乘（弱点）

夹逼

对数化为n项和

递推关系

法一（单调且好证时）

先证数列收敛（常用单调有界准则），再求极限

法二（无单调或不好证）

先算极限A，再证以A为极限

很重要的思想

单调性判定

熟悉3

前提是f(x)单调增

不熟，又忘了

证明有界的方法

待总结(难）

注意

那怎么算？

无穷小量阶比较

本质：求极限

简便方法

注意是被积函数的加一

2项有些遗忘了

结论

同阶+同阶≥同阶

小细节

第三节，连续

间断点定义

去心邻域是左右两边

注意

判定间断点时，注意函数的奇偶性，偶函数的间断点在左右两边是一样的，有助于快速解题

只是偶函数左边点的右极限=右边点的左极限

可去间断点

左右极限存在且相等的间断点



跳跃间断点

左右极限存在但不相等的间断点

连续函数性质

连续函数的和，差，积，商（分母≠0）及复合仍连续

基本初等函数在定义域内连续 初等函数在定义区间内连续

定义域：函数有定义的所有点构成的集合

定义区间：包含在定义域内部的空间

定义区间不唯一，如1/x的定义区间可以有（0，1）（0，2）（0，+∞）

闭区间上连续函数的性质

介值定理与零点定理，开区间

介值推论定理，要求闭区间

积分中值定理，也为闭区间

什么时候用

函数连续，且待证明等式的右边为数时？？？

若题干只给了开区间，则尝试在开区间中找一个闭区间，通常在xn中找最大最小值的点创立闭区间

证明一个函数值等于一个数，需要用到介值定理

零点定理，开区间

什么时候用

当题干出现中值点，且待证明等式中无导数，只有函数时，用零点定理

若出现导数，通常用微分中值定理

方法

构建辅函，用零点定理

零点定理：连续，异号

某定理

46页，没懂

把区间n等分，然后把前面n项加起来

注意的间断点函数

5项很重要

第三项常考

第七项竟然记不住

注意

进行间断点判定时，若进行了变形，需注意有无把无意义的点消掉

蛮重要，常考

有界函数不一定连续

有界*连续=不一定连续（注意审题）

间断点难题





加强这两个公式的记忆

根据各自的不同区间，取交集进行讨论

要先求出f(x)，再讨论间断点类型

而求出fx，就是找到fx中各个子函数的定义区间，再综合讨论各个重复的定义区间