考研数学高数第四章常微分

综合了武忠祥老师，张宇老师以及一些我自己做题（1000题，660，880）中的知识点的总结，包含了基本概念、 一阶微分方程、 可降阶的高阶方程、线性微分方程解的结构(弱点)、常系数线性微分方程等。

常微分

基本概念

通解不是指所有的解，而只是解的一般形式

一阶微分方程

两种情况下不用加绝对值

可降阶的高阶方程

缺y

缺x

线性微分方程解的结构（弱点）

结合这两个方程，就能明白为什么

齐特+非齐特=非齐特

C1齐特+C2齐特 =齐通

齐通+非齐特=非齐痛

齐次的解

两个解线性无关，即两个解之比≠常数

齐次特解+齐次特解=齐次通解

非齐次通解

齐次通解+非齐次特解=非齐次通解

齐次特解

非齐特－非齐特=齐特

换个角度为：齐特+非齐特=非齐特

实际应用是什么

非齐次特解

俩式左端一样，右端不一样

子非齐+子非齐=非齐特

一个定理

注意

特解的问题

所谓齐次方程，非齐次方程的特解y*，都是指整个方程的解，可以代入到这个方程中进行计算最终配平

在非齐次中所设的y*，就是整个方程的特解

通解

yc+y*

通解通常不代入到整个方程中

例子

张宇15章强化训练25题

常系数线性微分方程

常系数齐次线性微分方程

以上虽然为二阶，但对三阶四阶也同样适用

意义

把微分方程根的问题，归结为找代数方程根的问题

只要知道特征方程的根，就可以知道齐次方程的解

常系数非齐次线性微分方程

式子右边的多项式，有时不只存在一个，此时列式需分别列

注意第二项中，面对sinx,cosx的列法

这俩都是有指数的



注意设的都是特解

只要是非齐次，一定是有指数的

注意最后一个

不熟

差分方程

牢记公式，可能常考

其实记第二个就行，第一个是第二个的特例（当d=1时）

解题方法

遇见一个微分方程什么都不是(尤其在面对某些高阶方程时）

x，y对调

变量代换

例如

可能综合来考

弱点，老算不出

判定微分方程类型时，注意未知函数y与y’

给出常系数非齐次的三个特解，求微分方程

由常系数，只要知道特征方程，就可以知道齐次微分方程

知道特征根，就知道齐次的两个线性无关的解，再加上一个非齐次的特解，即可知道非齐次的通解

齐通+非齐特=非齐通

常利用非齐-非齐=齐特，由此得到一个齐特，从而知道一个特征根

但另一个齐特，通常不能由三个非齐特相减得出，需要利用求出的一个齐特进行加减运算来求

例题





要注意的是，齐特+非齐特=非齐特

同时要把非齐特，代入到等式右边，才可以得到右边的f(x)，而不是非齐特=右边的f(x)

给线性非齐次方程(不一定为常系数）的解，求微分方程

由特解求出非齐次的通解

知道通解后，若提示为二阶，即对通解求导，分别求得二阶导，一阶导（均带有任意常数）

通过运算，把任意常数消掉，即可得到微分方程

总结

对一般的微分方程，知道通解后，如何找微分方程？

几阶方程就求几阶导，利用它们消去C1,C2，得到微分方程

对于线性常系数

也可以用上述方法，但不如找齐次两特解，得到特征根，尔后得到微分方程的方法来的快

例如





一式中为什么有个3？

注意这个联立消去系数的计算，不熟

有点难，忘了

积分方程

即未知函数出现在积分里面

解题思路

化积分方程为微分方程，即两边求导，其中可能涉及变量代换

如

某种新题型

通过进一步求导，得到微分方程

导数定义与微分方程结合

秀

有时候会考，虽然不多，会结合在很多综合题中

好家伙

反常积分与微分方程

有时，求值不一定是代入运算，而是利用题干所给的微分方程条件

如把y用y'，y''表示出来再运算

这个思想，利用公式把y换成y''和y'，会考

一种题型

解高阶方程时，出现一个任意常数，就定一个任意常数

有时条件来自于运算过程中

可得y’=1

一个运算思想

一种找原函数的方法

没怎么用过，用哪儿呢

张宇的思想

是否可以应用在微分中值里面呢？

应该可以

注意

注意一下，其实不是很明白

好像明白了一点，但如何补充上这个解呢？

好像是利用连续性，求该点的极限，来代替，把y写成分段的形式？

在寻找可能的特解时，找到了通常的形式之后，还要把特解代入，确定更具体的形式

如虽然D项是基本的形式，但由题目的条件(A，B非0等等），还可以进一步确认为C



啥玩意，为什么不一样

不明白，再听吧，我作出了D，但无法知道为什么B=0与题干不矛盾

有一定难度的题

二阶线性微分方程解的形式

一个结论

没明白

不重要

线性无关的解

即f(x1)/f(x2)≠C

注意是不恒等于

所以要确认无关，一种方法是求导

求导后的导数不恒等于0

判断线性微分方程

如果无论以x，还是以y为自变量，方程对未知函数都不是一次的，那么必然是非线性微分方程

如2，3中，x,y都不是一次的

注意是“都”

1中，对y是一次的

所以只有1，4是微分方程

1中，以y为自变量，是一次？是这个意思吗？

what？

看不明白了

这是哪里来的结论？

计算特解参数的简单计算方法

秀啊

因为左边多的x，在右边没有对应的式子，所以红色划线部分必为0

掌握这个，计算更快

张宇1000补充

当微分方程的解根本算不出时，但还让研究f(x)的性质，此时思路是：尝试用微分方程制造二阶导





解的结构问题

非齐的解，由两个部分构成，y非=y齐+y非

任何非齐的解都是这个结构



例题





还是挺混乱的

有难度





作对一次

注意这种非线性的算法

一种题型





这种判定法更快

一定尝试去深挖，谁是齐次的解，谁是非齐次的解







这种题一般不出填空题，因为答案太多，但选择题中可以出

置换思想类的题

核心，令x=1-x





一种题

微分方程的计算（弱点）

遇到奇形怪状的题时

思路





计算问题

为什么有时候dy/y不考虑加绝对值





遇到积不出的（同值转换思想）





重要解题思想，常用

挺重要的

某些非常规方法



常规方法求出fx，然后再算积分，计算量比较大

另一种方法：由牛顿莱布尼茨公式，对原本的微分方程的两端作（0，+∞）的反常积分



一种计算思想

微分方程中的变上限积分前有函数

试着把该函数拿掉





变成了缺y型