线性代数之行列式思维导图

这是一篇关于线性代数之行列式的思维导图。该思维导图针对行列式的定义与性质、行列式的计算、余子式与代数余子式的计算等知识点进行了归纳总结。

第一讲行列式

• 行列式的定义与性质
  • 本质定义（第一种定义）
    • 1、n阶行列式是由n个n维向量组成的，其运算结果为以这n个向量为邻边的n维图形的体积2、Dn≠0，意味着体积不为0，则组成该行列式的n个向量线性无关；Dn=0，则体积为0，线性相关
  • 性质
    • 性质1:行列互换，其值不变
      • 行、列地位等价
    • 性质2:行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零
    • 性质3:行列式中某行（列）元素有公因子k（k≠0），则k可提到行列式外面
      • 相对于二阶行列式来说即是k倍的面积
    • 性质4:行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和
      • 单行（列）可拆性
    • 性质5:行列式中两行（列）互换，行列式的值相反
    • 性质6:行列式中两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式的值为0
    • 性质7:行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变
  • 逆序数法定义（第二种定义） 少用(辅助作用)
  • 展开定理（第三种定义）
    • 1、余子式:Mij
    • 2、代数余子式:Aij=(-1)^(i+j) * Mij
    • 3、行列式按某一行（列）展开的展开公式
      • aij的Aij（代数余子式）与i、j（的位置）有关，与aij的大小无关
      • 行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘以其相应的代数余子式后再求和
      • 但行列式的某行（列）元素分别乘另一行（列）元素的代数余子式后再求和，结果为0
  • 几个重要的行列式
    • 主对角线行列式
      • 1、左下三角行列式
      • 2、右上三角行列式
    • 副对角线行列式
      • 1、左上三角行列式
      • 2、右下三角行列式
    • 拉普拉斯展开式（背）
    • 范德蒙德行列式（背）
• 行列式的计算
  • 具体型
    • 化为基本型
      • 1、直接展开
        • （1）、某行（列）有足够多的0元素
        • （2）、阶数很低
      • 2、爪形
        • 斜爪消去平爪（用到性质3和性质7）
      • 3、异爪形
        • （1）、n=4直接展开，n为阶数
        • （2）、递推（n阶）
      • 4、行（列）和相等
        • 将各列（行）加到第1列（行），然后提出公因子
      • 5、消零化基本型
      • 6、拉普拉斯展开
      • 7、范德蒙德行列式
    • 递推法
      • 建立Dn与Dn-1的关系
    • 行列式表示的函数和方程
  • 抽象型
    • 一般是n维列向量
    • 用性质
    • 用公式 lABl=lAllBl
• 余子式与代数余子式的计算
  • 变aij，Aij不变