第一章 随机事件和概率

这是一篇关于第一章 随机事件和概率的思维导图，主要内容包括：重点内容，第三节 古典概型，第二节 概率及概率公式，第一节 随机事件、事件间的关系与运算。

第一章 随机事件和概率

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• 重点内容
  • 重点
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  • 易混淆
    • 特殊随机事件
      • 必然事件Ω包含任何事件且与任何事件独立
      • 不可能事件∅与任何事件既互斥又独立
      • 0概率事件(P(A)=0)与任何事情独立
        • P(A) = 0 ----> P(AB) ≤ P(A) = 0 ----> P(AB) = 0 （概率的非负性） ----> P(A)P(B) = 0*P(B) = 0 = P(AB) （A与B独立）
      • 1概率事件(P(A)=1)与任何事情独立
      • 注意
        • 0概率事件不一定是不可能事件(概率--/-->事件)
          • {连续型随机变量取某一点的值}---该事件的概率为0但不是不可能事件
      • 考点
        • A与B既互斥又独立？(可能)
        • A被B包含，但A与B独立？(可能)
    • 事件的概率与事件的关系
      • 概率--/-->事件
      • 事件---->概率
    • 积事件的概率≤参与积运算的任一事件的概率
      • 概率越乘越小 各个事件交出来（公共部分）的面积必然小于等于原来任一事件的面积
  • 解题技巧
    • 选项含对立事件，bar一下求其对立事件获得等价条件（助解）
    • 独立事件用事件之交的概率定义
      • 计算相互独立事件的概率往往将事件之间的"并"或"差"转化成"交"来计算
• 第二节 概率及概率公式
  • 概率公理
    • 定义
      • 非负性
      • 规范性（归一化）
      • 可列可加性
        • 解决至多可列个事件（某些时候分解的事件不是有限个事件可以表达）的概率
    • 性质
      • 不可能事件的概率为0
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      • 有限可加性
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      • 真差公式及单调性
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      • P（A）≤1
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      • 对立事件的概率
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  • 条件概率
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    • 事件A的发生限制在事件B的范围内
      • 为满足概率的公理化定义： 条件概率空间：S->B 原概率的限制：P(·) -> P(·|B)（规范化） 
    • 性质
      • 非负性
      • 规范性
      • 可列可加性
        •  互斥事件和事件的概率等于各互斥事件概率之和
  • 事件的独立性
    • 定义
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      • A与B两个事件互不影响
        • A或B的发生相对于对方无影响
    • 性质
      • 1. 独立事件与其对立事件的关系（独立与bar无关系，bar不影响独立性）
        •  推论：A与B独立，则所有依赖于A的事件与所有依赖于B的事件独立 例子：A与B两种原材料来源都是独立，那么可以理解为Abar为A原材料污染，Bbar为B原材料污染，那么A是否污染与B是否污染无关，或者仅用A制成的产品与仅用B制成的产品是否污染也无关
      • 2. 事件A1,A2,...,An相互独立--->部分事件也是相互独立
    • 推广
      • 三事件独立(需同时满足四个式子)
        •  若不能同时满足,则不一定三个事件相互独立(两两独立不能推出三个独立) 
      • n事件独立
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    • 独立≠互斥
      • 事件的关系（如互斥）利用样本点定义
        • 事件的关系：包含 相等 互斥 对立（利用样本点定义）
      • 事件的独立性利用概率定义
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  • 五大概率公式
    • 加法公式（加奇减偶）
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    • 减法公式
      • 真差公式推导可导
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    • 乘法公式
      • 用以计算积事件的概率（避免计算组合数）
        •  需计算组合数的方法：（r 2）/（r+b 2）
      • 推广及应用
        • 一些实际问题中，所给出的概率有时应该理解为条件概率
        • 推广（记忆）
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        • 应用
          •   淘汰赛制：第i轮获胜，则i-1,i-2，...，1轮都获胜
    • 全概率公式
      •  先化整为0，后聚零为整
      • 定理
        •  通过划分成不同的互斥子事件来计算事件A的概率
        • 1. 样本空间->互斥子事件（和事件必须是样本空间）
        • 2. 条件概率——各子事件发生的条件下事件A发生的概率
        • 3. 可列可加性——概率相加
      • 步骤
        •  目的：计算A事件的概率 划分的每个子事件并起来是整个样本空间 各个事件之间互斥
        • 1. 化整为零
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          • 事件拆分（不同条件）——分类讨论
        • 2. 聚零为整
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          • 计算在各子事件发生的条件下，事件A发生的概率并求和
    • 贝叶斯公式
      • 定理
        • 乘法公式（分子）
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        • 全概率公式（分母）
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        • 注意分子
          •  P(C|A) ：待求----->P(AC) = P(A|C)P(C)
      • 应用
        • 靶纸判断  
        • 贝叶斯公式
          • 在A发生的条件下，每个Bi发生的条件概率（由果溯因）
            • 已发生事件->导致事件发生各个因素的可能性
        • 先验概率
          • 以往的经验得到的概率
        • 后验概率
          • 经随机试验后，由结果对先验概率的修正
        • 修正方法：贝叶斯公式
    • 区别
      •  全概率公式（由因得果）——知道导致某事件发生的各个子事件的概率，求该事件在子事件发生时发生的概率再求和 贝叶斯公式（由果溯因)——知道某事件发生的概率，求导致其发生的各个子事件的概率
• 第三节 古典概型
  • 古典概型
    • 有限等可能事件的计算 有限：样本空间有限->样本点有限个 等可能：每个样本点发生的可能性相等
    • 如何计算？
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      • 有利场合数/总点数
    • 工具
      • 排列组合公式
        • 排列：从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序 组合：从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序
      • 乘法原理
        • 做一件事要经过n步，每步有XX种方法 
      • 加法原理
        • 做一件事有多种方法 
  • 几何概型
    • 测度之比
• 第一节 随机事件、事件间的关系与运算
  • 随机试验E
    • 对随机现象的观测
    • 可重复性、可知性（所有结果）、不可预知性（出现的结果）
  • 随机事件
    • 样本空间
      • 样本点e,w
        • 随机试验的每个可能的结果(元素)
      • 样本空间Ω
        • 随机试验的所有可能的结果组成的集合（全集）
          • 数、属性、数组、一系列结果
      • 一次随机试验
        • 根据对随机试验的描述而判断
          • 连续抛掷硬币三次，观察其正反面——三次抛掷硬币得到的结果看成一次随机试验
    • 随机事件A
      • 定义
        • 样本空间的子集
      • 事件发生
        • 试验结果∈A<=>事件A发生
          • 属于该事件的样本点发生->该事件发生
      • 基本事件{e}
        • 试验的每一个可能结果（只含有单样本点的集合）
      • 复合事件
        • 由基本事件构成的事件
      • 特殊的随机事件
        • 必然事件Ω
          • 全集
        • 不可能事件∅
          • 空集
  • 事件的关系及运算
    • 定义、称呼、记号、集合、图
    • 事件的关系
      • 包含、相等、互斥（互不相容）、对立
    • 事件的运算
      • 交、并、差（A与B之差）
    • 事件的运算规律
      • 交换律
      • 结合律（同运算）
      • 分配律
        • 对∩、∪对称
      • 对偶律
        • 运算规律
          • ∩->∪；∪->∩；包含->被包含
          • bar号里面事件bar一下；不改变原来的运算顺序（加括号）
        • 处理技巧
          • bar号里面的差运算需先转换为积运算（A-B=ABbar）
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  • 翻译工作
    • 将事件用数学符号表示
    • 用文字叙述事件