第四章 随机变量的数字特征

这是一篇关于第四章 随机变量的数字特征的思维导图，主要内容包括：重点内容，第二节 矩、协方差和相关系数，第一节 随机变量的数学期望和方差。

第四章 随机变量的数字特征

• 重点内容
  • 数学期望性质与方差性质的对比
    • 
    • 数学期望性质
      • 
      • 数学期望相加性（两随机变量无要求）
        • 
      • 数学期望可分离（两随机变量独立(减弱为线性无关也可)）
        •  
      • E(CX)= CE(X)
        • 
      • E(C) = C（对常数求均值等于该常数）
    • 方差性质
      • 1. 常数的方差D(C)为0
        • 
      • 2. D(X±Y)
        • X和Y不独立(减弱为线性无关也可)
          • 
        • X和Y独立
          • 
      • 3. E(X^2）≥ [E(X)]^2
        •  对于任何随机变量X，D(X) ≥ 0
  • 计算公式
    • 数学期望
      • 随机变量取值乘相应的概率后求和
      • 方差
        •  推导：利用数学期望的线性性 
        • 协方差
          •   
          • 相关系数
            • 
  • (协方差/相关系数)相关与独立
    • 协方差/相关系数为0
      • 推出X和Y不相关（没有线性关系）
      • 不能推出X和Y独立
    • X和Y独立
      • 推出协方差/相关系数为0
    • 普通的二维随机向量(X,Y)
      • X,Y相互独立--->没有任何关系（包括线性关系）
      • 相关系数=0--/-->X,Y相互独立
        • X,Y不相关不能推出X,Y相互独立 只能推出X,Y没有线性关系，但是可能有其他关系
      • X,Y不独立--/-->相关系数不为0
    • 二维正态随机向量(X,Y)
      • X和Y不相关<--->X和Y独立<--->ρ=0
        • 唯一一种：是否独立与相关系数是否为0互为充要条件
  • 对称性
    • X的密度函数f(x)关于y作对称变换Y的密度函数f(-x)
      • E(X）= -E(Y)
        • 
      • D(X）= D(Y)（随机变量偏离中心程度一样）
  • 协方差关于变量的对称性（变量独立同分布）
    • Cov(X,Y) = Cov（X,Z）
• 第一节 随机变量的数学期望和方差
  • 数学期望
    • 定义
      • 平均（有限值平均）
      • 期望(可无限个值)、均值（加权平均）
        • 实质上是对X的取值的加权平均 或说是随机变量X取值的集中点
    • 计算方法
      • 随机变量取值乘相应的概率后求和
      • 和式绝对收敛-->期望存在
    • 分类
      • 离散型随机变量
        • 定义
          • 
          • 里外相乘再求和
        • 求n个总质量为1的质点的质心
          • 
      • 连续型随机变量
        • 定义
          • 
          • X取值乘相应的概率后求和
        • 求线密度为f(x)总质量为1的细棒的质心坐标
          • 
      • 随机变量函数的数学期望
        • 一般问题
          • 知随机变量X的数学期望，如何求其函数的数学期望
            • 
        • 解决方法
          • 随机变量取值乘相应概率再求和
        • 一元函数
          • 
          • X为离散型
            • 
          • X为连续型
            • 
        • 二元函数
          • 
          • X,Y为离散型
            • 
          • X,Y为连续型
            • 
    • 性质
      • 
      • 1. 数学期望相加性（两随机变量无要求）
        • 
      • 2. 数学期望可分离（两随机变量独立(减弱为线性无关也可)）
        •  
      • 3. E(CX)= CE(X)
        • 
      • 4. E(C) = C（对常数求均值等于该常数）
  • 方差(随机变量偏离均值的程度)
    •  随机变量与平均值E(X)的平均（求数学期望）平方偏离程度
    • 定义
      • 
    • 计算公式
      •  推导：利用数学期望的线性性 
    • 性质
      • 1. 常数的方差D(C)为0
        • 
      • 2. D(X±Y)
        • X和Y不独立(减弱为线性无关也可)
          • 
        • X和Y独立
          • 
      • 3. E(X^2）≥ [E(X)]^2
        •  对于任何随机变量X，D(X) ≥ 0 
    • 计算
      • 随机变量函数的数学期望
      • 离散型随机变量
        • 
      • 连续型随机变量
        • 
  • 常用分布的数学期望及方差
    • 均匀分布
      • 数学期望
        • 
        • 随机变量取值的一个中心位置-区间中点(a+b)/2
      • 方差
        • 
        • 与区间长度成正比
          • 区间长度越长，随机变量分布越分散，均方距离越大
    • 泊松分布
      • 数学期望
        • 
        • 平均寿命λ
      • 方差
        • 
    • 二项分布
      • 数学期望
        • 
        • 书本P109
      • 方差
        •  变量拆分-->方差性质-->二项分布方差
    • 指数分布
      • 数学期望
      • 方差
    • 正态分布
      • 数学期望
        • 图形直观(随机变量的平均值或者取值的中心)
          • 
        • 数学证明
          • 
      • 方差
        • 
• 第二节 矩、协方差和相关系数
  • 协方差与相关系数
    • 协方差
      • 定义
        • 
        • 对两个随机变量与平均值的偏离程度的之积求数学期望
      • 目的
        • 刻画随机变量之间关系的数字特征
      • 意义
        • 协方差不等于0-->X，Y必不独立-->X,Y之间必存在某种关系
        • 协方差等于0-->X，Y必独立-->X,Y之间没有任何关系
      • 计算公式(记忆)
        •   
      • 性质
        •  利用协方差的计算公式推导即可 
    • 相关系数
      • 引入
        • 问题
          • 关系的密切程度不能直接用Cov(X,Y)值的大小表示
            •  例如X,Y都是向量，乘K倍只是把该向量拉伸了K倍，但实际上（本质上）并没有改变X与Y的关系，但从式子上显示协方差相差了K^2倍，所以显然不合理
          • 协方差等于0描述两个随机变量之间独立 协方差不等于0不能通过其数值描述随机变量的密切程度
        • 解决方案
          • 单位化
            • 
            • 意义
              •  单位化后的随机变量数学期望为0，方差为1
            • 随机变量取值落在[-1,1]
      • 定义
        • 
        • 求随机变量的单位随机变量之间的协方差
      • 性质
        • 1. 相关系数的绝对值小于等于1（均方误差是非负的）
        • 2. 相关系数=1，即Y与X几乎处处线性相关
      • 相关与独立
        • X,Y相互独立--->没有任何关系（包括线性关系）
        • 相关系数=0--/-->X,Y相互独立
          • X,Y不相关不能推出X,Y相互独立 只能推出X,Y没有线性关系，但是可能有其他关系
        • X,Y不独立--/-->相关系数不为0
      • 线性关系
        • 推导
          • 利用线性表达式Y=ax+b(a,b待定系数）求均方误差的极小值
            • 所有点的纵坐标与直线的垂直距离达到最小
          • 由该极小值与相关系数的关系可推出相关系数可表达线性相关性
        • a0,b0,均方误差极小值的关系
          • 
          • 随机变量Y尽可能“扣除”X的线性部分后的剩余均方值
          • 相关系数越大-->均方误差值越小-->X,Y的线性相关性越强
            • 
          • 相关系数越小-->均方误差值越大-->X,Y的线性相关性弱
        • 三种状态
          • 两个极端
            • 相关系数的绝对值=1，X,Y相关
              • 正相关
                • 
                • 随机点几乎处处落在斜率为正的直线
              • 负相关
                • 
                • 随机点几乎处处落在斜率为负的直线
            • 相关系数的=0，X,Y不相关
              • 散落均匀
                • 
          • 弱相关
            • 随着相关系数的变小，点慢慢散开，但大致还能处于一个直线的周围