第一章 行列式

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第一章 行列式

• 性质
  • 转置行列式的值不变|A'|=|A|
  • 某行有公因数k，k可提到行列式外；某行元素全为0，行列式值为0
  • 两行互换，行列式变号；若两行相等或成比例，行列式值为0
  • 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和
  • 某行的k倍加到另一行，行列式的值不变（倍加不改变行列式值）
  • 注意
    • 行列式提取公因数，一次只能提取一行或一列的公因数
    • 行列式拆开性质，一次只能拆开一行或一列的两个数
• 计算
  • 数字型
    • 求解方法
      • 三角化法
        • 上三角/下三角
      • 公式法（背）
        • 关于副对角线的行列式
        • 两个特殊的拉普拉斯展开式（分块矩阵求行列式）
        • 范德蒙行列式(第一数学归纳法)书本P15
          • 
        • 爪型行列式（逐行（列）相加）
        • 特征多项式
      • 递推法
        • 第一数学归纳法（一个高阶命题只和一个低阶命题有关）
          • 1.验证n=1时 命题fn都正确 2.假设n<=k时，命题fn都正确 3.证明当n=k+1时，命题fn正确
        • 第二数学归纳法（一个高阶命题和多个低阶命题有关）
          • 1.验证n=1,n=2时 命题fn都正确 2.假设n<k时，命题fn都正确 3.证明当n=k时，命题fn正确
    • 常用技巧
      • 直接按行（列）展开
      • 倍加法（某行(列)元素存在相反数）
        • 把第一行（列）的ki倍加到第i行（列）ri+ki(r1)
        • 把每行（列）的ki倍都加到第一行（列）
      • 逐行（列）相加
        • 三对角线
  • 抽象型
    • 用行列式性质（倍加法恒等变形）
    • 用矩阵性质（单位矩阵恒等变形（单位矩阵相当于1））
    • 用特征值（行列式的值等于特征值之连乘积）
    • 用相似矩阵（相似矩阵行列式的值相等）
• 证|A|=0
  • AX=0有非零解（克拉默法则）
  • 反证法（假设|A|≠0，即A可逆）
  • r(A) ＜ n（矩阵的秩）
  • 0是A的特征值（特征值）
  • |A|= -|A|
• 展开式
  • 按行(列)展开
    • 某一行(列)元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和
    • 利用展开公式构造行列式P22
  • 注意
    • 二三阶行列式有对角线法则，四阶及以上无对角线法则
    • 行列式某一行的元素与其余行元素的代数余子式乘积之和为零 P5
• 概念
  • 一个数
  • 不同行不同列所有元素乘积的代数和（共n!项）
• 常用定理（必背）
  • P5 行列式展开公式（|A|、0）
  • P14 第一/第二数学归纳法应用
  • P20 矩阵的秩几种等价说法
    • r(A)=r
      • A中存在（有）n阶子式不为0，任意一个（任何）r+1阶子式（若还有）必为0
    • r(A)＜r
      • A中任意一个（任何）r阶子式必为0
    • r(A)≥r
      • A中存在（有）r阶子式不为0
  • P20 AB=0的两种思路
    • 1. B的列向量是齐次方程组AX的解
    • 2. r(A) + r(B) ≤ n
      • R(A)+R（B）≥ R(AB)-n --R(AB)=0(AB=0)-->R(A)+R（B）≥ -n