导图社区 第一章 函数极限连续知识点
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第一章 函数极限连续知识点
补充知识
选择题技巧
直接法
排除法
如何用
一般函数(只告诉f(x)满足的条件，无f(x)表达式)
何时用
f(x)代具体函数(符合条件下，越简单越好)
三次多项式的分解
分解形式

方法
待定系数法
1. 按照分解形式设定系数
2. 对比原多项式与所设的多项式得到系数
长除法
1. 观察得出多项式的一个根x1
2. 多项式/(x-x1)即可得到多项式的二次因式
化简手段
根式(平方根)
高次方根不方便
分子/分母有理化
三角函数的相关公式
易混淆易错
I. 闭区间上连续函数的性质（开区间则不行）
开区间在区间端点处不一定连续（极限值不一定存在）
II. 连续与极限
函数某点连续与某点极限的关系
在该点极限存在是该点连续的必要条件而非充要条件 函数在一点连续--->函数在该点的极限存在（左极限=右极限）且等于该点函数值（连续的等价定义） 函数在一点极限存在--/-->函数在该点连续（可去间断点）
f(x)(x->x0)=f(x0)=A(三个含义)
函数在该点有定义 函数在该点极限值存在 函数在该点的极限值=函数值
III. 定义域与定义区间
例子
函数：1/x 定义域 x≠0 定义区间 (0,1) (1,0)
定义域
所有有定义的点（唯一）
定义区间
包含在定义域内的区间（不唯一）
第二节 极限
1. 极限的概念
研究极限是否存在的先决条件
f(x)在某点x0邻域是否有定义--->有定义才去进一步讨论
数列的极限
数学定义（两种表示）P21
注意
I. ε与N的作用
ε：任意性——>刻画Xn与a的接近程度任意小 N：刻画n->∞极限过程 与任意给定的正整数ε有关，随着ε的给定而选定
II. 数列极限的几何意义
数列极限存在->数列后无限项都落在以a为极限的领域
III. 数列的极限是否存在或极限存在值等于多少与数列的前有限项无关
IV. 数列极限存在<-->奇偶子列极限存在且相等
函数的极限
数学表示(两种)P28
I. ε与δ的作用
ε：任意性-->刻画极限值与函数值无限接近的过程 δ：刻画x-->xo（表示自变量充分接近于x0） 几何意义：领域半径δ体现了x接近x0的程度
II. 函数极限的几何意义
当点的横坐标x在x0的去心邻域时，函数值满足[A-ε,A+ε] 这些点落在[A-ε,A+ε]的横条区域内
III. x->x0但x≠x0（P9）
函数趋于某一定点的极限与函数在该点是否有定义无关，或函数有定义函数值为多少无关
IV. 某点（双侧）极限存在<->左极限右极限（两个单侧）存在且相等
两种情形
自变量趋于无穷大
双侧极限
自变量的绝对值趋于无穷大
单侧极限
自变量趋于正无穷大OR负无穷大
自变量趋于有限值
ε与δ的作用 ε：任意性—>刻画f(x)与A的接近程度任意小 δ：刻画x->x0极限过程
左极限（记号）
右极限（记号）
描述函数从左（右）趋近于某点
需要分左右极限求极限
1. 分段函数在分界点处求极限，而分界点处两侧的表达式不一致
2. e^∞型
3. arctan∞型
函数-∞和+∞极限不一致
极限的性质
I. （数列）有界不一定收敛:(-1)^n
II. （函数）局部有界不一定收敛:sin(1/n)
2. 极限的性质
唯一性
sinx(x->∞)极限不存在--->函数值不能趋于一个常数
有界性
收敛必有界；无界必发散 函数（局部有界）：函数极限的定义--->该点去心邻域有界(其他地方管不了) 数列：以下为证明 数列极限定义->后面无限多项都限制在以a为中心的邻域 前面有限项必有最大值
收敛必有界；无界必发散
保号性
3. 极限的存在法则
夹逼准则
多用于n项和极限
单调有界准则
多用于递推公式Xn+1 = f(Xn)
单调增只证上有界(数列第一项即为下界)
单调减只证下有界(数列第一项即为上界)
前有限项不满足也不影响准则使用
4. 极限的两个极端状态
无穷小量
概念
极限为0的变量（在某一极限过程中）
0是可以作为无穷小的唯一的常数
无穷小量的比较
研究某一极限过程中，变量趋向0的速度
极限值与无穷小之间的关系
函数与极限的桥梁
无穷大量
绝对值要多大有多大 （在某一极限过程中）
无穷大量的比较
对、幂、指、阶乘、幂指(小->大)
铅直渐近线
函数趋于某点时极限趋于无穷大-->该点为该函数图像的铅直渐近线
关系
无穷大的倒数必为无穷小 无穷小的倒数为无穷大（条件：无穷小≠0）
极限运算法则
有限个无穷小的和仍为无穷小
反例P13（无限个无穷小的和）
有限个无穷小的积仍为无穷小
无穷小量与有界量的积仍是无穷小
xsin(1/x) (x->0)
有限个无穷大之积仍为无穷大
有限个无穷大之（和）差仍为无穷大（X） n 与 -n
复合函数的极限运算法则
内层有极限
外层有极限
内层函数的函数值不能等于u0
5. 无界变量
性质
无界×无界不一定无界
奇数列和偶数列相乘，得到结果全为0（错位）
无界与有界变量乘积仍为无界变量
无穷大与无界变量之积不一定无穷大(n*sin(1/n))
与无穷大量的关系P13
无穷大量与无界变量之和为无穷大
无穷大量与无界变量之积为无穷大（X） n sin(1/n) --->无界变量但不是无穷大量
数列
对任意M>0,存在N>0,当n>N时，恒有|Xn|>M
函数
在某极限过程中，函数值都能大于给定的任意M>0
无界变量
对任意M>0,存在N>0,,当n>N时，有|Xn|>M
在区间I上，存在一点x0，使得函数值要大多有多大
无穷大量比无界变量条件更严格
无穷大量要求n>N时，所有的项都应该大于给定的常数M 无界变量则只要求存在某一项大于给定常数M
6. 求极限（熟练掌握方法）
未定式？
i. 化简
极限等于非零常数因子-->计算并提到lim外
因式分解
能因式分解先因式分解-->一般可以算到非零常数因子
利用极限的四则运算法则-->极限等于非零常数因子先算
ii. 方法
利用基本极限求极限
1. 多项式分数的极限（捉老大）
证明方法：同除最高（最低次项） 自变量趋于无穷，则看分子分母最高次项，其余项不用看 自变量趋于0，则看分子分母最低次项（老大—谁无穷小更低阶）,其余项不用看
利用等价无穷小代换求极限
利用有理运算法则求极限
分母极限为0--->消去零因子法--->商的运算法则
利用洛必达法则求极限
使用条件
利用泰勒公式求极限
泰勒公式的意义
I. 建立f(x)与f(x)n阶导数桥梁
II. 用多项式逼近f(x)
佩亚诺余项（局部） 拉格朗日余项（整体）
III. 多项式求解（积分、极限、求导）简单
基本泰勒公式
5条基本泰勒公式（背）
3条推导可得泰勒公式
等价无穷小->泰勒公式 等价改等号，右端加高阶无穷小
极限的存在准则
利用夹逼原理求极限
n项和的数列极限
放大缩小
放大
取所有分母中最小的
缩小
取所有分母中最大的
观察式子找上界和下界再夹逼（P12例8)
P23 例39 （重要结论）
利用单调有界准则求极限
递推关系Xn+1= f(Xn)
步骤
1. 存在(单调有界)
单调性证明
前项比后项
前项减后项
有界性证明
基本不等式
2. a= f(a) (两边同时取极限)
利用定积分求极限
第三节函数的连续性
I. 第一节 函数
1. 函数的概念及常见函数
函数的概念
定义域和对应法则
分段函数
符号函数sgnx
sgnx = |x|/x (x≠0) sgnx = 0 （x=0）
取整函数
（x-1≤[x]≤x）去掉不大于1的正小数
常见函数
复合函数
条件
外层函数定义域∩内层函数值域≠∅
函数求解
表达式
根据内层函数的定义域及表达式判断内层函数的值域 根据内层函数的值域与外层函数的定义域关系(相交)代入外层函数对应定义域的表达式，且复合函数的定义域对应最内层函数的定义域 化简求解得出复合函数的表达式
复合函数若包含多个函数，则其定义域为各个函数定义域的交集
反函数
对任意y属于Rf,有唯一确定的x∈D(一一映射)
单调函数与反函数的关系
函数单调-->一定有反函数 有反函数--/-->函数不一定单调
反函数与原函数的关系
图像 （x<->y）X轴与Y轴对换，并且坐标方向也要相对应，那么得到的函数图像即为原函数的反函数图像 关系式 直接函数y=f(x)与反函数y=f^(-1)(x)在同一直角坐标系上，则两图像关于y=x对称 y=f(x)与x=f^(-1)(y)图像重合（按照对应法则得到的（x,y）是同一点）
初等函数
基本初等函数
幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
分段函数与初等函数的关系
分段函数一般不是初等函数（y=|x|是初等函数），因为在分段函数的定义域上不能用一个解析式表示
定义
初等函数的构造
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成
并可用一个式子表达的函数
2. 函数的性质（四大基本形态）
前提
在区间I上讨论（若无说明具体区间，则在定义域上讨论）
讨论导函数（函数可导）和原函数（函数连续）需先判断是否存在
单调性
严格单调增（不带等号）和单调不减（带等号）
判定
导函数＞0 ---> 函数单调增(充分条件)
f（x） = x^3（反推不正确）
导函数≥0 <---> 函数单调不减（充要条件）
奇偶性
定义域关于原点对称
讨论奇偶性的必要条件
奇函数若f(0)存在，则f(0)=0
函数奇函数(导函数的原函数)<--->导函数偶函性（充要条件）
函数是奇函数，则其全体原函数均为偶函数
函数偶函性(导函数的原函数)--->导函数奇函数
函数是偶函数，则只有唯一一个原函数（变上限积分函数，且积分下限为0）是奇函数
周期性
周期函数+任意常数仍为周期函数
周期函数(可导)--->导函数是周期函数（充分条件）
周期函数（连续）--//-->原函数是周期函数
周期函数（连续）+在一个周期上积分为0--->原函数是周期函数
有界、无界
有界 对于区间I上任一点x的函数值f(x),若存在一个正整数M,使得M >= |f(x)| 有界<-->既有上界又有下界 无界 在区间I上存在一点的函数值f(x)大于任意给定正整数 无界<-->无上界或无下界
f(x)在[a,b]上连续-->f(x)在[a,b]上有界
闭区间上连续函数必有界
f(x)在(a,b)上连续+区间端点单侧极限存在-->f(x)在(a,b)上有界
区间端点极限存在：左端点右极限f(a+0);右端点左极限f(b-0) 若a=∞ 或 b=∞，有限区间--->无穷区间 结论仍然成立
导函数在区间I（有限）有界--->f(x)在I上有界（重点）
II. 连续性的概念
点
1. 自变量增量为0时，对应函数值增量为0
2. 函数在某点极限存在且极限值=该点函数值(三个含义)
等价
区别
函数极限
函数在某点极限是否存在： 该点是否有定义无关 有定义函数值为多少无关
研究函数某点邻近函数值的变化趋势
函数连续
研究邻近点的变化趋势与该点函数值的关系
区间
开区间(a,b)
函数在区间内部连续
闭区间[a,b]
函数在端点处连续
左端点右连续
函数在区间内部有定义，区间外部是否有定义不知道 因此，左端点的右部有定义，所以讨论左端点的右连续
右端点左连续
III. 间断点及其分类
讨论前提
函数在间断点的某去心邻域有定义
间断点定义
函数在某点的某去心邻域有定义，但在x0处不连续
第一类间断点
左右极限均存在的间断点
分类
可去间断点
左=右
通过重新定义该点函数值，间断点可以去掉
跳跃间断点
左≠右
通过该点时，函数图像跳跃
第二类间断点
左右极限至少一个不存在的间断点
无穷间断点
振荡间断点
函数趋于某点时，函数值在某区间上变动无限多次
其他
IV. 连续型的运算与性质
1. 连续函数的和、差、积、商(分母≠0)仍为连续函数
2. 连续函数的复合仍为连续函数
3. 基本初等函数在其定义域内连续
4. 初等函数在其定义区间内连续
定义区间≠定义域
5. 注意
定义域内连续
有定义点也一定连续
定义区间内连续(包含在定义域内的区间)
有定义点也不一定连续(离散点)，需判断是否在定义区间
V. 闭区间上连续函数的性质
最值定理
有界性定理
介值定理
零点定理
证明方程根的存在性
VI. 题型
连续性的概念
什么时候需要讨论左右连续（左右有别）
分段函数分界点
该点左右两侧表达式不同
间断点及其分类
如何找间断点
函数无定义点
间断点的判别
第一类间断点需说明：可去OR跳跃
第二类间断点无需说明哪种
第二类间断点不用再说具体哪一类，因为第二类间断点除了无穷和振荡还有其他类型，所以间断点若为第二类，只需说明第二类即可 如下例子：既不是振荡又不是无穷 
连续性与间断点的类型
可能间断点
1. 函数无定义处
分母为0
2. 点左右两侧表达式不一样
分段函数分段点处
3. 点左右两侧极限不一样
连续点
函数在该点有定义
函数在该点有极限
函数在该点的极限值=函数值
